- среднее число заявок, находящееся в системе
массового обслуживания (обслуживаемых или стоящих в очереди).
- среднее время пребывание заявки в систем.
Рассмотрим любую систему массового обслуживания и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность.
Пусть, 
- число заявок,
прибывших в СМО до момента 
; 
- число заявок,
покинувших СМО до момента (рисунок 27).
 |
|||
 |
|||
0 T t
Рис. 27. Число заявок в системе
массового обслуживания в момент времени
Обе функции являются случайными и меняются скачком в
моменты приходов и уходов заявок. Функция 
, - число заявок, находящихся в очереди. Рассмотрим очень
большой промежуток времени 
и вычислим для него
среднее число заявок, находящихся в СМО:
(15)
Этот интеграл представляет собой площадь фигуры,
заштрихованной на рисунке. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых
имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе
соответствующей заявки. Обозначим эти времена 
. Таким образом, при достаточно больших , можно считать, что
, где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за
время .
Тогда, 
Величина 
есть среднее число
заявок, пришедших за время Т. Если разделить сумму всех времен 
на среднее число
заявок, то получится среднее время пребывания заявки в системе .
Получаем, что
(16)
Откуда,
- формула
Литтла (17)
Таким же образом получается вторая формула Литтла: среднее время пребывания заявки в очереди равно отношению среднего числа заявок в очереди к интенсивности потока заявок:
(18)