Предположим, что 
. Разделим отрезок [a, b] на четное число равных
частей N=2k, тогда
, (6.26)
где 
.
Заменим функцию f(x) на каждом отрезке 
длиной 2h
интерполяционным полиномом Лагранжа второй степени и положим
. (6.27)
Возьмем интеграл в правой
части (6.27). Получим:
(6.28)
Подставив (6.28) в (6.26),
получим квадратурную формулу Симпсона
.
Остаточный член
интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, построенного на каждом
отрезке , равный
,
обращается в нуль, если f(x) – полином второй степени.
Следовательно, формула Симпсона является точной для полинома второй степени.
Докажем, что формула
Симпсона является точной и для полинома третьей степени. Действительно, для f(x)=x3 имеем по формуле Симпсона
что равно точному значению этого интеграла,
полученному по формуле Ньютона-Лейбница
.
Таким образом, формула
Симпсона является точной для полинома второй степени и для функции f(x)=x3, а значит, и для произвольного полинома третьей степени.
Получим остаточный член
формулы Симпсона. Для этого представим подынтегральную функцию f(x) на каждом отрезке интерполяционным
полиномом Эрмита третьей степени с двукратным узлом 
:
(6.29)
Заменим первую сумму правой
части (6.29) формулой Симпсона, которая дает точное значение каждого интеграла 
.
Вторую сумму преобразуем,
интегрируя с помощью теоремы о среднем для определенного интеграла и применяя
затем теорему о среднем значении непрерывной функции. Получим
Величина
является остаточным членом формулы Симпсона.