Пусть функция 
и интеграл (6.1)
вычисляется по формуле прямоугольников. Получим следующее соотношение:
, (6.30)
где с – постоянная, не
зависящая от h.
Введем вспомогательную
функцию
.
Очевидно, что
(6.31)
Разложим функцию F(x) в ряд Тейлора в окрестности
точки 
.
(6.32)
С помощью (6.31) и (6.32)
имеем
Вычитая из верхнего
равенства нижнее, получим
(6.33)
откуда
(6.34)
На основании (6.11)
,
откуда
(6.35)
Подставим (6.35) в (6.34):
где 
не зависит от h.
Соотношение (6.30) получено. Величина ch2 называется главной частью
погрешности формулы прямоугольников.
Если , то справедливо аналогичное соотношение и для формулы
трапеций
, (6.36)
где 
не зависит от h.
При условии 
можно получить
аналогичное соотношение для формулы Симпсона
, (6.37)
где 
– не зависящая от h
постоянная.
Обозначим через Jh приближенное значение интеграла (6.1), найденное по одной из трех
формул: прямоугольников, трапеций, Симпсона, и объединим соотношения (6.30),
(6.36), (6.37) в одно
, (6.38)
где с не зависит от h,
k = 2 для формул прямоугольников и трапеций, k
= 4 для
формулы Симпсона. Предполагается, что 
. Запишем соотношение (6.38) для h1 = 2h:
,
(6.39)
вычтем из (6.39) (6.38) и
получим
следовательно, с точностью
до 
имеем
. (6.40)
Вычисление приближенной
оценки погрешности квадратурной формулы по формуле (6.40) называется правилом
Рунге.
Вычитая из умноженного на 2k
равенства (6.38) равенство (6.39), получим
, (6.41)
откуда
. (6.42)
Число 
называется уточненным
по Ричардсону приближенным значением интеграла J.
Согласно (6.42)
.
Таким образом, с помощью
приближенных значений интегралов Jh, J2h, найденных по
соответствующим квадратурным формулам с шагом h и 2h,
можно, во-первых, оценить погрешность более точного значения интеграла Jh по правилу Рунге и, во-вторых, вычислить уточненное по Ричардсону
приближенное значение интеграла 
, имеющее погрешность более высокого порядка относительно h,
чем Jh.
Назад к разделу "6.3. Формула Симпсона"
Вперед к разделу "7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ"