Предположим, что 
. Разделим отрезок [a, b] на N
равных частей, тогда
, (6.16)
где 
.
Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков 
первой
интерполяционной формулой Ньютона первой степени
(6.17)
Подставляя формулу (6.17) в
правую часть (6.16), интегрируя и используя теорему о среднем значении
интеграла, получим
(6.18)
В силу (6.10) получаем
(6.19)
Приближенное равенство
(6.20)
называется формулой
трапеций. Величина
(6.21)
является остаточным членом формулы трапеций. Оценка
остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде
. (6.22)
Формула трапеций, как и
формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции.
Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна
. (6.23)
Так как остаточные члены
формул прямоугольников и трапеций (6.13) и (6.21) имеют противоположные знаки,
формулы (6.12) и (6.20) дают двустороннее приближение для интеграла (6.1), т.е.
В таком случае можно
принять, что
, (6.24)
тогда
, (6.25)
т.е. погрешность выражается через приближенные
значения интегралов.