Допустим, что 
.
Отрезок [a,
b] разделим на N равных частичных отрезков 
, где 
.
Тогда
. (6.5)
Обозначим среднюю точку
отрезка 
через
. (6.6)
Запишем для функции f(x) на каждом их отрезков формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа
(6.7)
Подставим в правую часть
соотношения (6.5) вместо f(x) ее представление (6.7) и
получим (6.8):
Используя для вычисления 
теорему о среднем
значении интеграла и учитывая, что 
, получим
. (6.9)
В силу непрерывности 
(x) существует такая точка 
, что
. (6.10)
Используя (6.10), получаем
.
или, так как 
,
. (6.11)
Приближенное равенство
(6.12)
называется квадратурной
формулой прямоугольников, определяемой узлами 
и коэффициентами 
. Величина
(6.13)
является остаточным членом
формулы прямоугольников.
Оценка остаточной
погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде
, (6.14)
где
.
Выражения для остаточного
члена (6.13) и остаточной погрешности (6.14) показывают, что формула
прямоугольников (6.12) является точной для любой линейной функции, т.к. вторая
производная такой функции равна нулю и, следовательно, 
.
Оценим вычислительную
погрешность 
формулы
прямоугольников, которая возникает за счет приближенного вычисления значений
функции f(x) в узлах 
.
Пусть, например, значения 
в формуле (6.12)
вычислены с одинаковой абсолютной погрешностью 
, тогда
. (6.15)