4.3. Разделенные разности и их свойства

Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x₀, x₁,…x_n заданы значения функций f(x₀), f(x₁),…,f(x_n). Разделенные разности первого порядка определяются равенствами

разделенные разности второго порядка – равенствами,

а разделенные разности k-го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:

(4.11)

Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:

хi	f(хi)	Разделение разности
		I порядка	II порядка	III порядка	IV порядка
х0	y0
		f[x0,x1]
х1	y1		f[x0,x1,x2]
		f [x1,x2]		f [x0,x1,x2,x3]
х2	y2		f [x1,x2,x3]		f[x0,x1,x2,x3,x4]
		f [x2,x3]		f [x1,x2,x3,x4]
х3	y3		f [x2,x3,x4]
		f [x3,x4]
х 4	y4

Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.

1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(x_i), т.е. имеет место следующая формула:

. (4.12)

Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка

.

Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка .

Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем

Слагаемые, содержащие f(x₀) и f(x_n+1), имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(x_i), i=1, 2, …,n. Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:

т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1, доказательство закончено.

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x₀, x₁,…x_n (т.е. не меняется при любой их перестановке):

.

Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).

3. Простую связь разделенной разности f[x₀, x₁,…,x_n] и производной f⁽ⁿ⁾ (x) дает следующая теорема.

Пусть узлы x₀, x₁,…x_n принадлежат отрезку [a, b] и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п. Тогда существует такая точка xÎ[a, b], что

. (4.13)

Докажем сначала справедливость соотношения

(4.14)

где .

Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть

f [x₀, x₁, …, x_n, x].

Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена R_n(x)=f(x)-L_n(x) получим (4.13), теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п-ой степени

f(x) = a₀ xⁿ+a₁ x^n-1+…a_n

производная порядка п, очевидно, есть

и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение

.

Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков (больше п), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.

К оглавлению

Назад к разделу "Интерполяционный полином Лагранжа"

Вперед к разделу "Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями"