3.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Будем строить интерполяционный полином в виде

, (4.9)

где – многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:

.

Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле x_j, j=0,1,…n, равен соответствующему значению функции y_j, т.е. является интерполяционным.

Построим такие многочлены. Поскольку при x=x₀,x₁,…x_i-1,x_i+1,…x_n , можно следующим образом разложить на множители

где с – постоянная. Из условия получим, что

и .

Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме

, (4.10)

называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приближенное значение функции в точке x^*, вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции y_i в узлах интерполирования x_i заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью , то вместо точного значения будет вычислено приближенное значение , причем

,

где – вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .

.

В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид

а их полные погрешности в точке x^*

,

где ; .

Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х^*), получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности [1-3].

Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x^*) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x^*) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.

К оглавлению

Назад к разделу "4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член"

Вперед к разделу "4.3. Разделенные разности и их свойства"