4.1.
Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член
Будем
строить аппроксимирующую функцию в виде
. (4.1)
Коэффициенты
определим из условий
. (4.2)
Распишем
подробно эти условия:
.
……………..
.
Определитель
этой системы
может
быть получен из определителя Вандермонда
транспонированием матрицы и последующей
перестановкой ее строк, т.е. будет отличаться от определителя Вандермонда лишь
знаком.
Последний,
как известно, равен 
[8], т.е. отличен от
нуля, если узлы интерполирования xi различны.
Следовательно,
коэффициенты интерполяционного
полинома (4.1) всегда могут быть определены, и при том единственным образом.
Таким образом, доказано существование и единственность интерполяционного
полинома (4.1).
Оценим
остаточный член интерполирования
, (4.3)
где x* – точка, в которой
значение функции вычисляется с помощью интерполяционного полинома.
Предположим,
что узлы упорядочены: 
и 
непрерывна на [a,
b], 
.
Введем вспомогательную функцию
, (4.4)
где константа 
выбирается так, чтобы
,
отсюда
. (4.5)
При таком выборе функция f(x) обращается в нуль в (п+2)
точках 
. На основании теоремы Ролля ее производная F'(x) обращается в нуль, по
крайней мере, в (п+1)-й точке. Применяя теорему Ролля к F'(x), получаем, что ее
производная F''(x) обращается в нуль по крайней
мере в п точках. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что 
обращается в нуль по
крайней мере в одной точке x, принадлежащей отрезку [a,
b]. Поскольку
,
из условия 
будем иметь
. (4.6)
Приравнивая правые части (4.5) и (4.6), получим
представление остаточного члена в точке x*
, (4.7)
где 
.
Остаточная абсолютная погрешность интерполирования 
в точке 
может быть оценена как
, (4.8)
где 
.
Так
как точка – произвольная точка
отрезка [a, b], выражение (4.7)
остаточного члена справедливо для любой точки 
. Найдем оценку
остаточной погрешности интерполирования на всем отрезке [a, b]:
,
где 
.
Оценить 
при произвольном
расположении узлов интерполяции сложно. Если же узлы расположены на одинаковом
расстоянии h друг от друга., то имеет примерно такой
вид, как показано на рисунке 4.1. для п = 5 [3].
Рис. 4.1.
Вблизи центрального узла
интерполяции экстремумы невелики, вблизи крайних узлов – несколько больше, а
если Х выходит за крайние узлы интерполяции, то быстро возрастает.
Термин «интерполяция» в узком смысле употребляют, если x заключен между крайними
узлами; если же он выходит из этих пределов, то говорят об экстраполяции.
Очевидно, что при экстраполяции далеко за крайним узлом ошибка может быть
велика, поэтому экстраполяция малонадежна.