3.2. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными
разностями
Запишем интерполяционный полином Лагранжа в
следующем виде:
(4.15)
где L0(x) = f(x0)=y0, а Lk(x) – интерполяционный полином
Лагранжа степени k, построенный по узлам x0, x1, …,xk. Тогда 
есть полином степени k,
корнями которого являются точки x0, x1, …,xk-1. Следовательно, его можно
разложить на множители
(4.16)
где Ak – постоянная.
В соответствии с (4.14)
получим
(4.17)
Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что 
и (4.15) примет вид
(4.18)
который носит название
интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.
Этот вид записи
интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует
появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых
построений с основными построениями математического анализа.
Остаточная погрешность
интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом
(4.13), можно записать и в другой форме
,
т.е. остаточная погрешность
может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме Nn(x*).
Вычислительная погрешность Nn(x*) определится погрешностями разделенных разностей.
Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x*, окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше –
меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x0 и x1 взять ближайшие к x* узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по
этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно
симметричнее располагались относительно x*, пока очередной член по
модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной
разности.