2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть искомый корень 
уравнения (2.1) принадлежит отрезку [a, b],
. Представим f(x) с помощью разложения функции f(x) в ряд Тейлора в
окрестности точки x0
, (2.11)
где
a - точка, находящаяся между точками x и x1. Пренебрегая в (2.11) остаточным членом, найдем приближенное
значение x1 корня x:
. (2.12)
Подставив в правую часть (2.12) вместо x0 полученное значение x1, получим x2 и т.д.
Докажем, что последовательность
(2.13)
монотонно
сходится к единственному на отрезке корню x уравнения (2.1),
если:
1)
;
2)
непрерывны, отличны от нуля и сохраняют свои знаки на [a, b];
3)
начальное приближение x0 удовлетворяет условию: 
. Существование и
единственность корня следуют из условий I
и 2.
Докажем сходимость последовательности (2.13) для случая, когда (рис. 2.2)
.
В остальных случаях доказательство ведется аналогичным
образом.
Рис. 2.2.
За начальное приближение удобно взять один из концов
отрезка [a, b],. В данном
случае 
, так как 
. Методом индукции докажем,
что последовательность 
, построенная по формуле
(2.13), ограничена снизу точным корнем x .Действительно,
. Допустим, что все приближения
и докажем, что 
. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки :
, (2.14)
где
точка a расположена между x и . Подставим в (2.14) x = x
.
Поскольку 
на [a, b],
,
откуда
,
т.е. ограниченность снизу последовательности доказана. Отсюда 
т.е. 
– последовательность , монотонно убывает и, значит, имеет предел:
.
Перейдем к пределу при 
в
равенстве (2.13)
,
Абсолютную погрешность приближения , полученного
методом касательных, можно оценить формулой
(2.9). Преобразуем эту оценку с
помощью (2.13). Представим f(xn)разложением в ряд Тейлора в окрестности точки 
:
,
где a
- точка, расположенная между и .
Согласно (2.13)
или 
,
откуда
.
Обозначим 
.
Получим следующую оценку абсолютной погрешности
величины :
.
На свойстве монотонности последовательностей метода
хорд (2.10) и метода касательных (2.13) основан комбинированный метод,
заключающийся в одновременном
использовании этих двух методов:
Если в формуле (2.13) положить
,
то
формула (2.13) примем вид
Эта модификация метода
касательных носит название двухшагового метода хорд.