Преобразуем уравнение (2.1)
к эквивалентному виду
. (2.15)
Выбрав в качестве начального приближения точку 
, построим последовательность
(2.16)
Докажем, что эта последовательность при любом сходится к единственному на отрезке [a, b] корню уравнения (2.1), если:
1) функция 
определена и дифференцируема на отрезке
[a, b];
2)
все ее значения принадлежат этому отрезку при 
;
3) существует такое число 0<q<1, что 
при .
Рассмотрим
ряд
(2.17)
где xn определено формулой (2.16). Частичная сумма этого ряда
.
Оценим по модулю каждый член ряда
,
где точка a
- расположена между xi-1
и xi .
Имеем:
Следовательно, ряд
(2.17) сходится абсолютно, т.е. существует
,
откуда
следует сходимость последовательности (2.16)
.
Перейдем к пределу в
равенстве (2.16):
,
т.е. x - является корнем уравнения
(2.15) и эквивалентного ему уравнения (2.1). Докажем единственность x . Пусть существуют два корня
уравнения (2.15): 
где точка a расположена между x и x1, т.е. 
Преобразуем это
равенство
Но 
на [a, b], значит,
.
Оценим абсолютную погрешность
приближения 
, полученного методом итераций
Укажем теперь достаточно общий прием построения
функции , для которой будет обеспечено выполнение условий сходимости итерационного процесса (2.16). Пусть на отрезке [a, b] существует f’(x) и
сохраняет знак так, что
(мы
приняли здесь, что 
, в противном
случае рассматривается функция – f(x)). Умножив уравнение (2.1) на
число l и вычтя результат из тождества 
, получим
.
Выберем l так, чтобы
.
Отсюда
.
Из правого неравенства получим l > 0 , а из левого
.
Обычно полагают 
. Тогда
.