2. ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Отделение корней
Рассмотрим некоторую функцию f(x).
Определение.
Всякое число x обращающее функцию в нуль, т.е. такое, что 
, называется корнем
(нулем) функции или корнем уравнения
f(x)=0. (2.1)
Приближенное вычисление корня, как правило,
распадается на две задачи:
1 отделение корней, т.е. определение интервалов, в
каждом из которых содержится только один корень уравнения;
2 уточнение корня, т.е. вычисление его с заданной
степенью точности.
При отделении корней уравнения общего вида (2.1) часто используется известная из курса
математического анализа теорема Больцано - Коши:
пусть функция f(x) непрерывна на отрезке 
и на концах отрезка принимает значения разных
знаков, т.е.
. Тогда существует такая точка x , принадлежащая интервалу 
, в которой функция обращается
в нуль. Заметим, что корень будет единственным, если 
(или 
) существует и сохраняет знак на рассматриваемом
отрезке.
Остановимся более подробно на алгебраических уравнениях
. (2.2)
Верхнюю границу модулей корней уравнения (2.2) дает следующая теорема.
Пусть 
. Тогда любой корень x уравнения (2.2) удовлетворяет условию
. (2.3)
Допустим, что существует корень a уравнения (2.2),
не удовлетворяющий условию (2.3), т.е.
. (2.4)
Из (2.4) следует, что
.
Тогда
Согласно (2.4)
и 
,
что
противоречит предположению о том, что a - корень уравнения
(2.2).