Методы одномерной оптимизации

Пусть функция f(x) определена на Задачей одномерной оптимизации будем называть задачу, в которой требуется найти

max (min) f(x),

Решением или точкой максимума (минимума) этой задачи назовем такую точку , что для всех . Запишем

Методы одномерной оптимизации условно подразделяются на три группы. К первой группе относятся методы, основанные лишь на вычислении значений самой функции f(x) (методы нулевого порядка).

Вторую группу составляют методы, использующие значения как самой функции, так и ее первой производной (методы первого порядка). И, наконец, к третьей группе относятся методы, использующие значения функции, ее первой и второй производной (методы второго порядка).

В дальнейшем будем считать, что максимизируемая функция является унимодальной.

Определение. Функция f(x) называется унимодальной на множестве Р, если существует единственная точка х* ее максимума на Р и для любых :

Другими словами, унимодальная функция монотонно возрастает слева от точки максимума и монотонно убывает справа от нее.

Отметим, что предположение об унимодальности функции в окрестности точки х* весьма естественно, поэтому получение информации о таком промежутке является важным этапом процедуры оптимизации. Обычно в процессе применения методов одномерной оптимизации можно выделить два этапа: поиск отрезка, содержащего точку максимума, и уменьшение длины этого отрезка до заранее установленной величины (уточнение координаты точки максимума на данном отрезке).

К оглавлению

Назад к разделу "Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Одномерная оптимизация"

Вперед к разделу "Поиск отрезка, содержащего точку максимума. Алгоритм Свенна"