Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Одномерная оптимизация

Отделение корней. Метод хорд. Метод касательных. Метод итераций

Рассмотрим некоторую функцию .

Определение. Всякое число , обращающее функцию в ноль, то есть такое, что называется корнем (нулем) функции или корнем уравнения

(1)

Приближенное вычисление корня, как правило, распадается на две задачи:

1. Отделение корней, то есть определение интервалов, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.

2. Уточнение корня, то есть вычисление его с заданной степенью точности.

При отделении корней уравнения общего вида (1) часто используется известная из курса математического анализа теорема Больцано-Коши:

Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то есть Тогда существует такая точка , принадлежащая интервалу (а, в), в которой функция обращается в ноль.

Заметим, что корень будет единственным, если (или существует и сохраняет знак на рассматриваемом отрезке.

Остановимся более подробно на алгебраических уравнениях

. (2)

Верхнюю границу модулей корней уравнения (2) дает следующая теорема:

Пусть . Тогда любой корень уравнения (2) удовлетворяет неравенству

. (3)

Из этой теоремы следует, что все корни уравнения (2) расположены внутри интервала (-R,R).

Рассмотрим теперь задачу уточнения корня, то есть задачу вычисления корня с заданной степенью точности . В дальнейшем во всех методах будем предполагать, что корень уравнения (1) отделен на отрезке [a,в] и функция непрерывна вместе со своей производной.

Одним из простейших методов уточнения корня является метод хорд или, как еще его называют, метод пропорциональных частей. Для реализации этого метода необходимо предварительно выбрать отрезок , содержащий искомый корень так, чтобы , и сохраняли знак и не обращались в 0 при . Определим величину так, чтобы при выполнялось неравенство:

Последовательность приближенных значений корня строится по формуле

n=0,1,2…. (4)

где – один из концов отрезка [a, в], удовлетворяющий условию: За начальное приближение в методе хорд принимается конец отрезка, противоположный . Абсолютная погрешность приближения оценивается формулой

. (5)

Сформулируем алгоритм метода хорд.

Шаг 1. .

Шаг 2. Если , то идти на шаг 4.

Шаг 3. , идти на шаг 5.

Шаг 4. .

Шаг 5. Вычислить и по формулам (4) и (5).

Шаг 6. Если , то , конец.

Шаг 7. , идти на шаг 5.

Рассмотрим еще один метод вычисления корня с заданной степенью точности – метод касательных (Ньютона). Будем предполагать, как и в методе хорд, что функция на концах отрезка [a,в] имеет разные по знаку значения; ее первая и вторая производные сохраняют свои знаки и не обращаются в ноль при . Определим

Приближенное значение корня вычисляется по формуле

n=0,1,… (6)

В качестве начального приближения выбирается тот конец отрезка , в котором функция и ее вторая производная имеют одинаковые по знаку значения. Абсолютная погрешность полученного методом касательных приближения определяется по формуле

(7)

Сформулируем алгоритм метода касательных.

Шаг 1. .

Шаг 2. Если , то идти на шаг 4.

Шаг 3. идти на шаг 5.

Шаг 4.

Шаг 5. Вычислить и по формулам (6) и (7).

Шаг 6. Если , то , конец.

Шаг 7. , идти на шаг 5.

Один из наиболее важных методов уточнения корней является метод итераций. Для реализации этого метода необходимо уравнение (1) преобразовать в эквивалентное ему уравнение вида

(8)

и построить последовательность

n=0,1,… (9)

При этом для обеспечения сходимости метода правая часть уравнения (8) должна удовлетворять условиям: , при и

Абсолютная погрешность приближенного значения определяется по формуле:

(10)

Теперь сформулируем алгоритм метода итераций.

Шаг 1. Задать

Шаг 2. .

Шаг 3. Вычислить , по формулам (9), (10).

Шаг 4. Если , то , конец.

Шаг 5. , идти на шаг 3.

Приведем один из возможных примеров построения уравнения (8). Пусть при . Тогда принять при и при . Так что соотношение (9) в этом случае преобразуется к виду:

(11)

а оценка погрешности (10) -

(12)

Типовые задачи

Задача 1. Отделить корни уравнения

Решение. Функция непрерывна на всей числовой оси, следовательно, мы можем воспользоваться теоремой Больцано-Коши. Заметим, что при далее а при . Это означает , что при и при данное уравнение не имеет действительных корней. С другой стороны, мы имеем два отрезка: и , на концах которых непрерывная функция принимает противоположные по знаку значения. Следовательно, на этих отрезках имеется по крайней мере по одному корню.

Рассмотрим теперь первую производную функции . Она сохраняет знак (отрицательна) на отрезке ; следовательно, на этом отрезке уравнение имеет только один корень. На втором отрезке знака не сохраняет. Рассмотрим вторую производную . Вторая производная положительна на всей числовой оси, поэтому на отрезке - также один корень уравнения.

Задача 2. Отделить корни уравнения

Решение. Данное уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Найдем границы его корней.

Таким образом, все корни уравнения находятся внутри отрезка . Определим знаки функции в различных точках этого отрезка.

X	-4,5	-4	-3	-2	-1	0	1	2
f(x)	-	-	-	+	+	+	-	+

На концах отрезков [-3; -2] , [0; 1] , [1; 2] непрерывная функция f(x) имеет разные по знаку значения, следовательно, в каждом из этих отрезков содержится по крайней мере один корень уравнения. Поскольку алгебраическое уравнение третьей степени может иметь не более трех действительных корней, то в каждом из этих отрезков содержится ровно один корень уравнения. Таким образом, задача отделения корней данного уравнения решена:

Задача 3. Методом хорд вычислить наибольший корень уравнения 2х³ + 3х² – 7х + 1 = 0 с точностью до двух верных знаков в узком смысле.

Решение. В задаче 2 показано, что наибольший корень данного уравнения принадлежит отрезку [1; 2]. Следовательно, уточнение корня необходимо производить до тех пор, пока не будет достигнута точность ε=0,05. Производная f ^/(x) = 6x² + 6x – 7 на рассматриваемом отрезке [1;2] положительна, причем

Вторая производная f ^//(x) = 12x + 6 тоже положительна на отрезке [1; 2]. Вычислим f(1) = -1; f(2) = 15. Очевидно, что начальное приближение х₀ = 1, а с = 2. Перейдем непосредственно к уточнению корня по формуле (4):

.

Оценим погрешность полученного приближенного значения по формуле (5), предварительно определив f(x₁)= -0,67.

Δx₁ = 0,67 / 5 = 0,14.

Поскольку требуемая точность еще не достигнута (Δх₁ > ε), продолжим вычисления, а весь процесс решения оформим в виде следующей таблицы:

Таблица 2.

n	Xn	f(xn)	Δxn
1 2 3 4	1,06 1,10 1,12 1,14	-0,68 -0,41 -0,27 -0,12	0,14 0,09 0,06 0,03

Из таблицы 2 видно, что погрешность метода Δх₄ = 0,03 меньше требуемой точности ε =0,05.

Далее, поскольку все вычисления проводились с двумя знаками после запятой, то необходимо учесть погрешность округления, равную 0,005. Окончательный результат следует представить в виде:

.

Задача 4. Вычислить методом касательных корень уравнения 2х³ + 3х² – 7х + 1 = 0, расположенный на отрезке [0; 1] с точностью до 0,005.

Решение. Вычислим значение функции на концах отрезка [0; 1] f(0)=1; f(1)= -1. Определив первую и вторую производные, заметим, что первая производная меняет свой знак на отрезке [0; 1]. Сузим рассматриваемый отрезок так, чтобы на новом отрезке первая производная не меняла знака. Рассмотрим середину отрезка [0; 1] - точку 0,5. Вычислим значение функции в этой точке: f(0,5)= -1,5. Следовательно, корень данного уравнения принадлежит отрезку [0; 0,5]. На этом новом отрезке первая производная сохраняет свой знак (отрицательна), вторая производная тоже сохраняет знак (положительна). Вычислим

Так как на левом конце отрезка [0; 0,5] функция f(x) имеет тот же знак, что и ее вторая производная, в качестве начального приближения возьмем точку 0: х₀ = 0.

х₁ = 0 – 1 / (-7) = 0,143.

Погрешность этого значения есть (формула (7)):

что больше требуемой точности ε = 0,005, поэтому следует перейти к вычислению приближения х₂.

Погрешность второго приближения Δх₂ = 0,0003 меньше требуемой точности ε = 0,005. Учитывая погрешность округления, равную 0,0005, получим:

Задача 5. Методом итераций вычислить отрицательный корень уравнения 2х³ + 3х² – 7х + 1 = 0 с точностью до ε = 0,05.

Решение. В задаче 2 было показано, что отрицательный корень данного уравнения находится на отрезке [-3; -2].

Вычислим:

Таким образом, итерационный процесс (11) примет следующий вид:

n = 0, 1, 2, … ,

а оценка погрешности (12)

В качестве начального приближения примем середину рассматриваемого отрезка [-3; -2] : x₀ = -2,5.

Далее вычислим приближение корня:

x₁ = x₀ – 1 / 17(2x₀³ +3x₀² –7x₀ + 1) = -2,853.

Оценим погрешность приближенного значения x₁ :

что больше требуемой точности ε = 0,05, поэтому следует перейти к вычислению х₂ и его погрешности.

Дальнейшие рассуждения аналогичны вышеприведенным, а весь итерационный процесс удобно оформить в виде следующей таблицы:

Таблица 3.

N	Xn-1	Xn	Δ Хn
1. 2. 3. 4.	-2,5 -2,857 -2,791 -2,816	-2,853 -2,791 -2,816 -2,807	0,848 0,149 0,060 0,022

Из таблицы 3 видно, что требуемая точность достигнута и можно принять

Следует отметить, что все вычисления велись с двумя запасными знаками, а погрешность округления (0,003) добавлена к погрешности метода.

К оглавлению

Назад к разделу "Построение простейших квадратурных формул"

Вперед к разделу "Методы одномерной оптимизации"