8.5. Кольца: определение, свойства, примеры

 

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:

1)   относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;

2)   относительно операции умножения К — полугруппа;

3)   операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cbдля всех а, b, cK, называется кольцом (К,+,•).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b, то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и Lзамкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, bL выполняется а+bL и abL.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством SK, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

Примеры.

1.  Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.

2.  Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3.  Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а₀, а₁, а₂, ..., а_n,из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов— это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K[x₁,...,х_m] от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х_т над кольцом K[x₁, ..., х_m-1].

4.Пусть X— произвольное множество, К—произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: ХК, определенных на множестве Xсо значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и • — операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве Xсо значениями в кольце К.

Многие свойства колец — это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a^maⁿ=a^m+n, (а^т)^п=а^тп для всех m, nи всех a.

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1)   длявсех a a0=0a=0;

2)   .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3)   - a=(-1)a.

Действительно:

1) 

2)  0=a(аналогично (-a)b=-(ab));

3)  используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "8.4. Циклические группы. Группы подстановок"

Вперед к разделу "8.6. Поле"