3.2.  Интерполяционные полиномы с центральными разностями

 

         Возьмем в качестве узлов интерполирования точки , где . Построим интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

 

Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и связь их с конечными разностями (4.20), получим

Отсюда

 

 

Введя переменную , получим первый интерполяционный полином Гаусса, или полином Гаусса для интерполирования вперед,

 

   (4.24)

 

В этой формуле используются следующие конечные разности (подчеркнуты):

xi

yi

x-3

y-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

y-2

 

 

 

 

 

 

 

x-1

y-1

 

 

 

 

 

 

x0

y0

 

 

 

 

 

 

x1

y1

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

Если взять узлы интерполирования в другом порядке, а именно , то совершенно аналогично можно получить второй интерполяционный полином Гаусса, или интерполяционный полином Гаусса для интерполирования назад,

 

 

       (4.25)

Вторая интерполяционная формула Гаусса использует следующие конечные разности:

 

xi

yi

x-3

y-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

y-2

 

 

 

 

 

 

 

x-1

y-1

 

 

 

 

 

 

x0

y0

 

 

 

 

 

 

x1

y1

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

Взяв полусумму интерполяционных формул Гаусса, получим интерполяционный полином Стирлинга в виде формулы:

 

           (4.26)

 

Интерполяционный полином Стирлинга использует следующие конечные разности:

xi

yi

x-3

y-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

y-2

 

 

 

 

 

 

 

x-1

y-1

 

 

 

 

 

 

x0

y0

1/2

1/2

 

 

 

 

x1

y1

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

Остаточный член интерполяционных формул (4.24), (4.25) и (4.26) имеет следующий вид

              (4.27)

Например, для полинома Стирлинга второй степени

,

остаточный член

.

Получим еще одну форму интерполяционного полинома. Для этого применим вторую интерполяционную формулу Гаусса к точке х1, используя для ее построения узлы . Тогда

где . Легко видеть, что , где . Выразим в  через t. Получим

Полусумма этой формулы и первой формулы Гаусса (4.24), построенной по узлам , даст интерполяционный полином Бесселя:

         (4.28)

Полином Бесселя особенно удобен для интерполирования на середину, т.е. для . Действительно, в этом случае члены, содержащие разности нечетного порядка, обращаются в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:

 

xi

yi

x-3

y-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

y-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-1

y-1

 

 

 

 

 

 

 

x0

y0

 

 

 

 

1/2

1/2

1/2

x1

y1

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

y4

 

 

 

 

 

 

Остаточный член интерполяционного полинома Бесселя имеет вид

        (4.29)

В частности, для полинома Бесселя первой и третьей степени

остаточные члены имеют вид

 

К оглавлению

Назад к разделу "Интерполяционные формулы Ньютона"

Вперед к разделу "4.8.Обратное интерполирование"