1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность

вычисления значения функции)

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция

(1.12)

и известны абсолютные погрешности аргументов

. (1.13)

Обозначим через

, (1.14)

тогда

. (1.15)

Абсолютная погрешность функции выражается следующим образом:

. (1.16)

Согласно формуле Лагранжа

(1.17)

Отсюда

, (1.18)

где

. (1.19)

Когда погрешности аргументов малы, величины B_i допустимо заменить на абсолютные значения частных производных функции в точке .

С учетом этого для абсолютной погрешности функции получится

приближенное, но более простое выражение

. (1.20)

Данное выражение для определения абсолютной погрешности функции носит название общей (или основной) формулы теории погрешностей.

Разделив обе части выражения (1.20) на , получим выражение для относительной погрешности функции:

. (1.21)

В случае функции одного аргумента выражения для погрешностей функции упрощаются. Действительно, если

,

то

В частности, для основных элементарных функций получаем следующие правила:

К оглавлению

Назад к разделу "1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков"

Вперед к разделу "1.6. Погрешность арифметических действий"