Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить интеграл

(1)

Если функция f(x) является непрерывной на отрезке [a;b], то интеграл (1) существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

(2)

Однако для большинства функций f(x) первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f(x) часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в построении формул численного интегрирования, или квадратурных формул.

Определение 1. Приближенное равенство

(3)

называется квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами A_i.

Величина

(4)

называется остаточным членом квадратурной формулы.

В зависимости от способа задания подынтегральной функции f(x) будем рассматривать два различных в смысле реализации случая численного интегрирования.

Задача 1. На отрезке [a;b] в узлах x_i заданы значения f_i некоторой f, принадлежащей определенному классу F. Требуется приближенно вычислить интеграл (1) и оценить погрешность полученного значения.

Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Задача 2. На отрезке [a;b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (1) с заданной предельно допустимой погрешностью.

Рассмотрим алгоритмы решения задач 1 и 2.

Алгоритм решения задачи 1.

1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисляют J_N. Если значения функции f(x_i) заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение для точного J_N.

2. Приближенно принимают, что .

3. Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода

.

4. Определяют погрешность вычисления

,

по погрешностям приближенных значений f(x_i).

5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения :

6. Получают решение задачи в виде

.

Алгоритм решения задачи 2.

1. Представляют в виде суммы трех неотрицательных слагаемых

,

где - предельно допустимая погрешность метода; - пре-дельно допустимая погрешность вычисления ; - предельно допустимая погрешность округления результата.

2. Выбирают N в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство

.

3. Вычисляют f(x_i) с такой точностью, чтобы при подсчете J_N по формуле (3) обеспечить выполнения неравенства

.

Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f(x_i) с абсолютной погрешностью

.

4. Найденную в п.3 величину округляют (если )
с предельно допустимой погрешностью до величины .

5. Получают решение задачи в виде

.

Построение простейших квадратурных формул

Формула прямоугольников. Допустим, что . Отрезок [a;b] разделим на N равных частичных отрезков [x_i-1;x_i], где x_i=a+ih; ; x_N=b; .

Тогда

. (5)

Обозначим среднюю точку отрезка [x_i-1;x_i] через

.

(6)

Запишем для функции f(x) на каждом из отрезков [x_i-1;x_i] формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

(7)

Подставим в правую часть соотношения (5) вместо f(x) ее представление (7)

(8)

Используя для вычисления вторую теорему о среднем значении функции и, учитывая, что , получим, что

(9)

В силу непрерывности существует такая точка , что

.

(10)

Используя (10), получаем

или, так как ,

(11)

Приближенное равенство

(12)

называется квадратурной формулой прямоугольников, определяемой узлами и коэффициентами . Величина

(13)

является остаточным членом формулы прямоугольников (12).

Оценка остаточной погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде

,

(14)

где

.

Выражения для остаточного члена (13) и остаточной погрешности (14) показывают, что формула прямоугольников (12) является точной для любой линейной функции, так как вторая производная такой функции равна нулю, и, следовательно, .

Оценим вычислительную погрешность формулы прямоугольников, которая возникает за счет приближенного вычисления значений функции f(x) в узлах .

Пусть, например, значения f() в формуле (12) вычислены с одинаковой абсолютной погрешностью , тогда

(15)

Пример 1. Вычислить с помощью формулы прямоугольников

с точностью = 10^-2.

Применяя алгоритм решения задачи 2, представим суммарную погрешность в виде суммы трех слагаемых.

=0,01=0,009+0,0005+0,0005.

Выберем h из условия

.

Так как и (b-a)=1, то и, следовательно, , т.е. N=4, h=0,25, .

Составим таблицу значений функции 1/1+x с тремя знаками после запятой, так как .

	0,125	0,375	0,625	0,875
	0,889	0,727	0,615	0,533

Используя формулу (12), получаем

.

Так как в данном случае погрешность округления равна , то получим

.

Формула трапеций. Предположим, что . Разделим отрезок [a;b] на N равных частей, тогда

, (16)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков [x_i-1,x_i] первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени

(17)

Подставляя формулу (17) в правую часть (16), интегрируя и используя вторую теорему о среднем значении функции, получим

В силу (10) получаем:

Приближенное равенство

(20)

называется формулой трапеции. Величина

(21)

является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде

(22)

Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна

(23)

Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (13) и (21) имеют противоположные знаки, то формулы (12) и (20) дают двухстороннее приближение для интеграла (1), то есть

если f ˝(x) > 0,

, если f ˝(x) < 0.

В таком случае можно принять, что

(24)

тогда

, (25)

т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.

Пример 2. Вычислить по формуле трапеций, полагая N=4; оценить полную погрешность результата. Учитывая результаты примера 1, найти по формуле (24) и оценку (25).

Применяя алгоритм решения задачи 1, находим:

.

Составим таблицу значений функции 1/(1+x) с тремя знаками после запятой

.

	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00
	1,000	0,800	0,667	0,571	0,500

=.

Суммарная погрешность равна

.

Если округлить результат до двух знаков, то

и

.

Используя формулы (24) и (25) и результаты примера 1, получим

;

;

<;

Формула Симпсона. Предположим, что. Разделим отрезок на равных частей, тогда

, (26)

где ; ; ;

Заменим функцию на каждом из отрезков длиной по формуле Стирлинга второго порядка. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным при выводе формуле трапеций, получим квадратурную формулу Симпсона

(27)

с остаточным членом

(28)

Оценка остаточной погрешности формулы Симпсона примет вид

, (29)

где

Вычислительная погрешность формулы Симпсона равна

(30)

Из выражения для остаточного члена формулы Симпсона следует, что она точна для многочленов третьей степени.

Пример 3. Вычислить по формуле Симпсона с точностью .

Применяя алгоритм решения задачи II, представим суммарную погрешность в виде суммы трех слагаемых

Выберем из условия

Так как =то

и, следовательно,

Таким образом, , и

Составим таблицу значений функций с пятью знаками после запятой

	0.000	0.125	0.250	0.375	0.500	0.625	0.750
	1.000	0.88889	0.800	0.72727	0.66667	0.61538	0.57143

	0.875	1.000
	0.53333	0.500

Используя формулу (27), получаем:

Округляя полученный результат, получим

Правило Рунге практической оценки погрешности

квадратурных формул.

Пусть и интеграл (1) вычисляется по формуле прямоугольников. Наличие у производных и позволяет при выводе формулы прямоугольников (7)-(13) получить следующее полезное соотношение

(31)

где (32)

- постоянная, не зависящая от . Величина называется главной частью погрешности формулы прямоугольников.

Если , то справедливо аналогичное соотношение и для формулы трапеций

(33)

где (34)

не зависит от .

При условии можно получить аналогичные (31) и (33) соотношения для формулы Симпсона (35)

где - не зависящая от постоянная.

Обозначим через приближенное значение интеграла (1), найденное по одной из трех формул (12), (20), (27), и объединим соотношения (31), (33), (35) в одно

(36)

где не зависит от , для формул прямоугольников и трапеций, для формулы Симпсона. Предполагается, что . Запишем соотношение (36) для

(37)

вычтем из (37) (36) и получим

или

или

и, следовательно, с точностью до имеем

(38)

Вычисление приближенной оценки погрешности квадратурной формулы по формуле (38) называется правилом Рунге.

Уточнение приближенного решения по Ричардсону.

Вычитая из умноженного на равенства (36) равенство (37), получаем:

(39)

откуда (40)

Число (41)

называется уточненным по Ричардсону приближенным значением интеграла .

Согласно (40) (42)

Таким образом, с помощью приближенных значений интегралов найденных по соответствующим квадратурным формулам с шагом и , можно, во-первых, оценить погрешность более точного значения интеграла по правилу Рунге (38) и, во-вторых, вычислить по формуле (41) приближенное значение интеграла , имеющее погрешность более высокого порядка относительно , чем .

К оглавлению

Назад к разделу "Численное дифференцирование"

Вперед к разделу "Вычисление интегралов с заданной степенью точности с помощью правила Рунге"