Вычисление
интегралов с заданной степенью точности с помощью правила Рунге.
При применении алгоритма решения задачи II выбор
шага интегрирования 
связан с решением
неравенств либо (14), либо (22), либо (29),
решение которых связано с нахождением 
что на практике не всегда возможно. Применение
правила Рунге позволяет избежать этих трудностей.
Алгоритм вычисления интеграла с заданной степенью точности с автоматическим
выбором шага.
1
шаг. Пусть 
– заданная функция, 
– интервал
интегрирования, 
-допустимая
точность.
2
шаг. Положить 
где 
для формул
прямоугольников и трапеций, 
для формулы Симпсона;
; и кратно 2 или 4; 
3
шаг. Вычислим 
4
шаг. Положим 
и вычислим 
5
шаг. Определим 
6
шаг. Если 
, то положим 
и остановимся,
иначе положим 
и перейдем к шагу 3.
Пример 4. Вычислить 
по формуле прямоугольников с точностью 
.
1 шаг.
; 
; .
2
шаг. Положим 
, так как 
должно быть
четным; 
3
шаг. Составим таблицу значений функции в точках 
с тремя знаками после
запятой.
|
|
0,125 |
0,375 |
0,625 |
0,875 |
|
|
0,985 |
0,877 |
0,719 |
0,566 |
4 шаг.
Положим 
вычислим
.
5 шаг.
Определим 
6 шаг.
Так как 
то положим
.
Сравнение
полученных результатов с точным значением интеграла показывает, что
,
следовательно,
имеет 2 верных знака, а 
верных знака, что и
следует из выражения (42).
Итак, 
Пример
5. Вычислить 
по формуле Симпсона с
точностью 
.
1
шаг. Положим 
тогда 
но так как должно быть кратным 4,
то выберем 
; 
2
шаг. Составим таблицу значений функции в точках 
с шестью знаками после запятой.
|
|
0,0 |
0,125 |
0,25 |
0,375 |
0,5 |
|
|
1,000000 |
0,984615 |
0,941176 |
0,876712 |
0,8 |
|
|
0,625 |
0,75 |
0,875 |
1,0 |
|
|
0,719101 |
0,64 |
0,566372 |
0,500 |
Вычислим 
3 шаг.
Положим 
вычислим
.
4 шаг.
Определим 
5 шаг.
Так как 
то вычислим 
и положим 
ЗАДАЧА Г.
Вычислить интеграл по формуле
прямоугольников с точностью 0,01.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
.
Вычислить интеграл по формуле трапеций с точностью 0,01.
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью 
18. 19. 
20. 
21.
22. 
23. 
24. 25. .