Численное дифференцирование

Формулы численного дифференцирования. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Выбор оптимального шага численного дифференцирования

При численном решении многих практических задач часто возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции y=f(x), заданной в виде таблицы или в виде сложного аналитического выражения, непосредственное дифференцирование которого затруднено. В таких случаях используются приближенные методы дифференцирования.

Рассматривается следующая задача:

На сетке в узлах x_i заданы значения y_i=f(x_i) функции f(x), непрерывно дифференцируемой n+1+m раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.

Один из возможных путей решения этой задачи заключается в применении теории интерполирования. Построим для функции f(x) по узлам x_i, i=0,1,...,n интерполяционный полином P_n(x) с остаточным членом R_n(x) так, что

. (1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (1) по x m раз и положим x=x^*

. (2)

Производная от многочлена P_n^(m)(x) применяется для приближенного представления искомой производной f^(m)(x):

. (3)

Вычисление высших производных может быть сведено к последовательному вычислению низших, поэтому мы остановимся более подробно на получении расчетных формул для . Приближенные формулы для вычисления производных в начале и в конце таблицы получаются путем дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона, а для вычисления производных в середине таблицы - путем дифференцирования интерполяционных многочленов Стирлинга и Бесселя.

Например, если выбрать узлы x₀,x₁,x₂,x₃,x₄ и воспользоваться первым интерполяционным многочленом Ньютона, то мы получим формулу численного дифференцирования вида

(4)

где .

На практике часто выгоднее выражать значения производных не через конечные разности, а непосредственно через значения функции в узлах. Для получения таких безразностных формул удобно воспользоваться многочленом Лагранжа с равномерным расположением узлов (x_i-x_i-1=h, i=1,2,...,n).

Запишем многочлен Лагранжа второй степени (три узла интерполирования).

(5)

Тогда

(6)

В основном формулы численного дифференцирования применяют для вычисления производных в узлах x_i. Подставим в равенство (6) последовательно значения x=x₀;x₁;x₂. Получим:

;	(7)
;	(8)
.	(9)

Остаточные члены формул численного дифференцирования (7) - (9) получим дифференцированием остаточного члена

многочлена Лагранжа (5) и последовательной подстановкой в выражение для значений x=x₀;x₁;x₂.

;	(10)
;	(11)
.	(12)

Записывая интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени (четыре узла) и его остаточный член, получим следующие формулы для производных в узлах:

;	(13)
;	(14)
;	(15)

. (16)

В случае многочлена четвертой степени (пять узлов) получим:

;	(17)
;	(18)
;	(19)
;	(20)
.	(21)

Выбор оптимального шага численного дифференцирования

Оценка абсолютной погрешности численного дифференцирования складывается из остаточной погрешности, оцениваемой величиной , и вычислительной погрешности, определяемой приближенным заданием величин y_i, i=0,1,...,n, (погрешностью округления результата пренебрегаем). Рассмотрим для определенности формулу (19).

Приближенное значение производной

(22)

имеет остаточную погрешность

и вычислительную погрешность согласно равенству (9) темы I

где - абсолютная погрешность каждого из чисел y_i, i=0,1,...,n.

Таким образом, полная погрешность формулы численного дифференцирования (22)-

Для малости необходима малость h, но при уменьшении h растет . Из уравнения получаем значение h^*, при котором погрешность формулы (22) имеет минимальное значение.

Задача.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках. Найти первую производную этой функции в точках x₁^*=0,7 и x₂^*=1,0. Оценить погрешности результатов. Найти оптимальный шаг h^* для каждой из формул численного дифференцирования.

Xi	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	0,4794	0,5646	0,6442	0,7174	0,7833	0,8415

Решение.

Точка x₁^*=0,7 - центральный узел таблицы. Для вычисления в данной задаче следует воспользоваться одной из формул (8), (14), (15), (18).

1) Воспользуемся формулой (8), обозначив x₀=0,6; x₁=0,7; x₂=0,8. Тогда

Остаточная погрешность результата в соответствии с формулой (11) -

где

Чтобы оценить M₃, построим для данной функции таблицу конечных разностей.

xi	yi
0,5	0,4794
		0,0852
0,6	0,5646		-0,0056
		0,0796		-0,0008
0,7	0,6442		-0,0064		-0,0001
		0,0732		-0,0009
0,8	0,7174		-0,0073		0,0003
		0,0659		-0,0006
0,9	0,7883		-0,0077
		0,0582
1,0	0,8415

Вычислительная погрешность результата -

где - абсолютная погрешность величин y_i.

Определим оптимальный шаг для использованной формулы численного дифференцирования.

откуда

.

1) Решим теперь данную задачу с помощью формулы (14), обозначив x₀=0,6; x₁=0,7; x₂=0,8; x₃=0,9.

Определим для этой формулы оптимальный шаг численного дифференцирования.

Точка x₂^*=1,0 является последним узлом таблицы. Для вычисления служат формулы (9), (16), (21). Воспользуемся формулой (16), обозначив x₀=0,7; x₁=0,8; x₂=0,9; x₃=1,0.

.

Определим соответствующий данной формуле оптимальный шаг таблицы.

Задача B

Пользуясь таблицей задачи Б2, вычислить первую производную заданной функции в точке x^* и оценить погрешность результата. Определить оптимальный шаг таблицы для выбранной формулы численного дифференцирования.

1. x^*=1,1 2. X^*=1,2 3. X^*=1,3 4. X^*=2,0

5. x^*=2,2 6. X^*=0,50 7. X^*=0,52 8. X^*=0,56

9. x^*=0,60 10. X^*=0,61 11. X^*=1080 12. X^*=1090

13. x^*=1100 14. X^*=1110 15. X^*=1120 16. X^*=2,70

17. x^*=2,74 18. X^*=2,76 19. X^*=2,80 20. X^*=2,84

21. x^*=0,7 22. X^*=0,9 23. X^*=1,1 24. X^*=1,3

25. x^*=1,5.

К оглавлению

Назад к разделу "Интерполирование"

Вперед к разделу "Численное интегрирование"