Интерполирование

Постановка задачи интерполирования. Полином Лагранжа, Стирлинга, Бесселя, Ньютона. Обратное интерполирование.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на интервале [a ,b] и заданную некоторыми своими значениями yi=f( xi ), i=0,1, . . . ,n для соответствующих значений аргумента a£x₀<x₁<. . . <x_n£b. Необходимо найти значение этой функции в точке x*Î[a ,b], x*¹xi и оценить погрешность полученного приближенного значения.

Один из возможных путей решения поставленной задачи заключается в следующем:

1) для функции f(x) по значениям yi в узлах xi , i=0,1, . . . ,n строится многочлен степени не выше n

Pn(x) = a0 ×xn +a1×xn-1+. . .+an-1×x+an ,

(1)

принимающий в точках xi значения yi , т.е. значения коэффициентов многочлена - ai - находятся из условия:

Pn(xi ) = yi , i=0,1, . . . , n .

Этот многочлен называется интерполяционным. Он всегда существует и единственен.

Функция f(x) представляется в виде: f(x)= Pn(x ) + Rn(x), (2)

где Rn(x) - остаточный член интерполяционной формулы. Если функция f(x) имеет непрерывную производную порядка (n+1) на [a,b], то

(3)

2) Вычисляется значение Pn(x*). Если значения yi заданы приближенно или же по каким-либо причинам вычисления не могут быть выполнены абсолютно точно, то фактически вычисляется лишь приближенное значение для точного значения Pn(x*).

3) Приближенно принимается, что f(x*) » n(x*).

4) Оценивается погрешность метода по остаточному члену интерполяционной формулы:

,	(4)
где .	(5)

5) Оценивается погрешность вычисления по погрешностям приближенных значений исходных данных:

D2 ³ ½ Pn(x*) - n(x*)½.

(6)

Таким образом, полная погрешность приближенного значения есть

D ³ D1 + D2 ³ ½f(x*) - n (x*) ½.

(7)

Для достаточно гладких функций и достаточного количества узлов на интервале интерполирования погрешность метода будет достаточно мала. При достаточной точности исходных значений yi и достаточной точности вычислений вычислительная погрешность будет также достаточно мала; следовательно, приближенное значение в этом случае будет достаточно мало отличаться от точного значения f(x*).

При решении практических задач интерполяционный многочлен строят в различных формах.

Одна из таких форм - интерполяционный полином Лагранжа:

(8)

Остаточная погрешность значения L_n(x*), вычисленного по формуле (8), оценивается формулой (4), а вычислительная погрешность

(9)

где Dy_i - погрешность исходных данных (значений функции в узлах).

Обычно интерполяционный полином составляется не по всем узлам таблицы, а лишь по некоторым, находящимся вблизи x*.

В случае равноотстоящих узлов, то есть когда

xi = x0 + i ×h , i=0,1,...,n,

(10)

где h - шаг интерполяции, целесообразно использовать интерполяционные полиномы Стирлинга, Бесселя и Ньютона.

Для более компактной записи этих полиномов обычно вводят понятие конечных разностей.

Будем называть конечными разностями первого порядка функции y=f(x) в точке xi следующие величины :

Dyi = yi+1 – yi ,

(11)

а конечные разности к–го порядка определяются такими рекуррентными соотношениями :

D k yi = Dk-1 yi+1 - Dk-1 yi .

(12)

Конечные разности функции y=f(x) удобно записать в виде таблицы 1 :

Таблица 1.

xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi	D4yi
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
x -2	y -2
		Dy -2
x-1	y -1		D2y -2
		Dy -1		D3y -2
x 0	y 0		D2y-1		D4y -2
		Dy 0		D3y -1
x 1	y 1		D2y 0
		Dy 1
x 2	y 2
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.

Например,

xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi	D4yi
30°	0,5000
		0,0736
35°	0,5736		-0,0044
		0,0692		-0,0005
40°	0,6428		-0,0049		0
		0,0643		-0,0005
45°	0,7071		-0,0054		0,0002
		0,0589		-0,0003
50°	0,7660		-0,0057		-0,0004
		0,0532		-0,0007
55°	0,8192		-0,0064
		0,0468
60°	0,8660

Если все исходные значения yi заданы с одной и той же погрешностью D*, то эта погрешность распространяется на разности порядка m с коэффициентом 2m и быстро растет с ростом m :
D*(Dmyi) = 2m×D* (это легко показать, если вспомнить определение погрешностей арифметических действий). А так как соответствующие конечные разности Dm yi будут убывать с ростом m, то наступит такая ситуация, когда все погрешности конечных разностей станут сравнимы или больше самих конечных разностей, и их использование станет нецелесообразным. Поэтому порядок последних конечных разностей, которые еще целесообразно использовать в вычислениях, называют порядком правильности таблицы конечных разностей, который, в свою очередь, определяет максимально допустимый порядок интерполяционного полинома, строящегося для данной функции с заданным шагом интерполирования.

Обратимся вновь к формуле (4) оценки остаточной погрешности интерполяционного полинома. На практике точно определить производную f(n+1)(x) и ее максимальное по модулю значение Mn+1 бывает, как правило, невозможно, так как функция обычно задается лишь в виде таблицы своих значений. Поэтому прибегают к приближенной оценке Mn+1 . Известно, что для функций, m раз непрерывно дифференцируемых, конечные разности порядка по m включительно обладают следующим свойством :

Dm yi = h m × f(m)(x) , xÎ(xi , xi +m).

На основании этого свойства

.

(13)

Перейдем к рассмотрению названных форм интерполяционных полиномов для функции y=f(x), заданной своими значениями yi в узлах xi равномерной сетки с шагом h.

Интерполяционный полином Бесселя и Стирлинга.

Пусть точка x* расположена вблизи от некоторого узла, который назовем x0 .

Для интерполирования выберем узлы, симметричные относительно x0:

. . . x-k , . . . , x-1 , x0 , x1 , . . . , xk , . . .

Введем в рассмотрение новую переменную

.

(14)

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной ½t*½:

Если

(15)

то используется полином Стирлинга, если

0,25< t*<0,75 , - (16)

полином Бесселя.

Одно из условий (15) или (16) может быть обеспечено выбором соответствующего узла таблицы в качестве x0 . При этом полином Стирлинга - полином четной степени - строится по нечетному числу узлов; полином Бесселя - нечетной степени - строится по четному числу узлов.

Итак, интерполяционный полином Стирлинга строится в виде:

(17)

Оценка (4) остаточной погрешности значения S2k( t*) может быть представлена в виде

(18)

или, согласно(13), -

Оценим теперь вычислительную погрешность результата

Как было сказано выше, абсолютная погрешность конечной разности порядка m

есть 2m ×D*, поэтому

D2 = D*( 1+2 | t*| +2t*2 +...)

(19)

Если выполняется условие (16), то есть точка интерполирования находится вблизи середины отрезка между узлами x0 и x1 (если так пронумерованы эти узлы), и строится полином нечетной степени, то следует использовать узлы, симметричные относительно середины отрезка между x0 и x1 , то есть относительно точки t=1/ 2.

Интерполяционный полином Бесселя для узлов

. . . x-k , . . . , x-1 , x0 , x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 , . . .

строится в следующем виде :

(20)

Оценки остаточной и вычислительной погрешностей результата B2k+1
( t*) имеют соответственно следующий вид :

(21)

Интерполяционные полиномы Ньютона

I и II интерполяционные полиномы Ньютона используют для определения значений функции в точках, находящихся соответственно в начале и конце таблицы интерполирования. В этом случае не всегда имеется возможность выбора достаточного количества узлов (слева или справа) для построения необходимых конечных разностей S2k , B2k+1 .

Пусть точка x* расположена вблизи первого узла интерполирования x0 на сетке x0 , x1 , . . . , xn. Тогда следует использовать первую интерполяционную формулу Ньютона :

(22)

t определяется формулой (14);

x0 - ближайший к x* узел слева.

Оценки погрешностей приближенного значения могут быть представлены в виде:

(23)

Если точка интерполирования x^* расположена вблизи последнего узла сетки x₀,x₁,...,x_n , то используют второй интерполяционный полином Ньютона:

(24)

где x_n - ближайший к x^* узел справа, .

Оценки погрешностей приближенного значения N_n^II(t^*) можно записать в виде:

(25)

Обратное интерполирование

Постановка задачи.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на интервале [a,b], заданную в виде таблицы своих значений y_i для соответствующих значений аргумента x_i.

Необходимо найти, в какой точке x^* из интервала (x_k-1,x_k) значение функции равно y^* из интервала (y_k-1,y_k). При этом предполагается, что интервал (x_k-1,x_k) настолько мал, что значение x^* будет единственным.

Фактически мы имеем дело с задачей определения корня уравнения:

. (26)

Одним из возможных путей решения этой задачи является аппроксимация функции f(x) интерполяционным полиномом P_n(x) и замена уравнения (26) уравнением:

(27)

Действительный корень уравнения (27) является приближенным значением корня X^* уравнения (26).

Поэтому принимаем, что

.

Погрешность значения определяется двумя моментами: построением интерполяционного полинома и решением уравнения (27) и может быть представлена в виде:

, (28)

где - суммарная погрешность интерполирования,

,

- погрешность решения уравнения (27).

Если заданных значений функции, для которых надо найти соответствующие значения аргументов, много, то имеет смысл пользоваться следующим способом решения задачи обратного интерполирования.

Пусть существует гладкая функция x=g(y), обратная к f(x), непрерывная со своими производными на минимальном интервале, содержащем значения y_i=f(x_i), i=0,1,... . В этом случае достаточно вычислить значение обратной функции g(y) в точке y^*, используя методы прямого интерполирования, т.е. .

Остаточную погрешность полученного значения L_n(y^*) можно согласно (4) оценить следующим образом

. (29)

Оценка вычислительной погрешности в этом случае будет иметь более сложный по сравнению с (9) вид, поскольку от приближенных величин y₀,y₁,...,y_n зависят теперь множители Лагранжа

.

Приведенный способ является более эффективным в сравнении с ранее изложенным. Однако его недостатком является требование гладкой функции g(y), что далеко не всегда выполняется.

Типовые задачи

Задача 1. Пользуясь известными значениями функциями в точках х=14,16,19,21, вычислить и оценить погрешность.

Решение. В качестве интерполяционного полинома выбираем полином Лагранжа, так как узлы интерполирования не являются равноотстоящими.

Используя формулу (8), определяем множители Лагранжа:

,, ,

Замечание. Отметим свойство множителей Лагранжа: . Для того, чтобы найти значение функции с максимальной точностью,необходимо определить, с какой точностью следует брать значения функции в узлах, для этого определим погрешность метода, используя формулу (4):

.

Находим

,

.

Далее вычисляем минимально возможную полную погрешность результата; имеем:

.

Теперь осталось определить вычислительную погрешность:

;

учитывая формулу (9) и предполагая, что все значения функции имеют одинаковую точность , имеем:

.

То есть значения функции в узлах берем с 5 знаками после запятой.

Записав далее таблицу исходных значений с требуемой точностью, вычисляем конечный результат:

xi	14	16	19	21
f(xi)	3,74166	4,00000	4,35890	4,58258

Ответ: √15=3,872940,0001.

Задача 2.

Составить соответствующие интерполяционные полиномы и вычислить в точках x^*₁=0,63 и x^*₂=1,35 значения функции f(x)=3^x, заданной в виде следующей таблицы, содержащей значения y_i с четырьмя верными в широком смысле знаками.

xi	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50
yi	1,732	2,280	3,000	3,948	5,196

Оценить погрешность результата.

Решение. Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей:

x_i y_i

0,50 1,732

0,548

0,75 2,280 0,172

0,720 0,056

1,00 3,000 0,228 0,016

0,948 0,072

1,25 3,948 0,300

1,248

1,50 5,196

Так как значение x^*₁=0,63 расположено в начале таблицы, а x^*₂=1,35 - в конце ее, то для вычисления значения f(x^*₁) следует использовать первый, а для вычисления значения f(x^*₂) - второй интерполяционные полиномы Ньютона.

Отметим, что конечная разность четвертого порядка приближенно равна своей погрешности. Поэтому функцию y=3^x с точки зрения вычислительной погрешности нецелесообразно аппроксимировать полиномом степени выше третьей, и, следуя формулам (22) и (24), имеем:

Вычислим значения t^*₁ и t^*₂.

Таким образом, получим:

Оценим погрешности по формулам (23) и (25):

Учитывая, что все приведенные знаки у функции y=3^x верны в широком смысле, имеем:

Поэтому вычислительные погрешности суть:

Округлим полученные результаты до четырех знаков.

Погрешности округления равны соответственно:

Суммируя погрешность метода, вычислительную погрешность и погрешность округления, получаем:

Заметим, что остаточные погрешности в данной задаче можно оценить с помощью конечных разностей. Для значения N₃^I(t₁^*) эта оценка имеет вид

а для значения N₃^II(t₂^*) -

.

Задача 3.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках.

xi	0, 0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	1,8221	2,0138	2,2255	2,4596	2,7183

xi	1,1	1,2
yi	3,0042	3,3201

Используя соответствующий интерполяционный полином, вычислить значения функции в точках x₁^*=0,85 и x₂^*=0,98. Оценить погрешности результатов.

Решение. Так как мы имеем достаточное количество узлов, меньших и больших x₁^* и x₂^* , то для вычисления f(x₁^*) и f(x₂^*) следует использовать интерполяционный полином Стирлинга или интерполяционный полином Бесселя, а в качестве центрального узла выбирать такой, чтобы выполнялось одно из соотношений (15) и (16). Далее, в зависимости от того, какое из двух условий выполняется, применить соответственно формулу Стирлинга или Бесселя.

В нашей задаче для вычисления f(0,85) в качестве центрального узла выберем и воспользуемся формулой Бесселя, а для вычисления f(0,98) в качестве центрального узла выберем и воспользуемся формулой Стирлинга.

Составим таблицу конечных разностей, обращая внимание на то, что если абсолютная погрешность значения y_i есть 0,5∙10^-4, то абсолютная погрешность конечных разностей порядка m есть 0,5∙10^-4∙2^m.

x_i y_i

0,6 1,8221

0,1917

0,7 2,0138 0,0200

0,2117 0,0024

0,8 2,2255 0,0224 -0,0002

0,2341 0,0022

0,9 2,4596 0,0246 0,0004

0,2587 0,0026

1,0 2,7183 0,0272 0,0002

0,2859 0,0028

1,1 3,0042 0,0300

0,3159

1,2 3,3201

0,00005 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008

Погрешность конечных разностей четвертого порядка больше абсолютных величин значений самих этих разностей, а это означает, что с точки зрения вычислительной погрешности функцию нецелесообразно аппроксимировать полиномом степени выше третьей.

Таким образом, так как полином Бесселя строится по четному числу узлов и является полиномом нечетной степени, а полином Стирлинга строится по нечетному числу узлов и является полиномом четной степени, то для вычисления f(x₁^*) построим полином Бесселя третьей степени, а для вычисления f(x₂^*) - полином Стирлинга второй степени.

Следуя формулам (20) и (17) и учитывая, что в формуле (20) будут отсутствовать слагаемые, содержащие множитель (t-1/2),так как t₁^*=1/2, получим:

Оценим погрешности полученных результатов.

Погрешности метода равны соответственно

а вычислительные погрешности -

Округлим результаты до шести знаков.

Суммируя для каждого результата погрешность метода, вычислительную погрешность и погрешность округления, получим

ƒ

Задача 4. По заданной таблице значений функции y=f(x) определить, какому значению аргумента x^* соответствуют значения функции y₁^*=2,000 и y₂^*=5,000.

Xi	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50
yi	1,732	2,280	3,000	3,948	5,196

Решение. Так как значение y₁^*=2,000 расположено в начале таблицы, а y₂^*=5,000 - в конце ее, то для вычисления x₁^* следует использовать первый, а для вычисления x₂^* - второй интерполяционные полиномы Ньютона.

Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей.

x_i y_i

0,50 1,732

0,548

0,75 2,280 0,172

0,720 0,056

1,00 3,000 0,228 0,016

0,948 0,072

1,25 3,948 0,300

1,248

1,50 5,196

Для определения x₁ имеем уравнение

,

а для определения x₂ -

где

Решая эти два уравнения, получим

Отсюда

Задача 5.

По заданной таблице значений функции y=f(x) определить значение x^*, для которого f(x^*)=10.

xi	10	15	17	20
yi	3	7	11	17

Решение. Функция f(x) монотонна на отрезке [10;20], следовательно, существует обратная функция x=g(y). Построим для нее интерполяционный полином L₃(y) и вычислим L₃(10).

Б1. Интерполирование с помощью полинома Лагранжа

Со сколькими верными знаками необходимо взять значение указанной функции в точках x_i, чтобы вычислить значение функции в точке x^* с минимальной погрешностью. Вычислить результат.

y=cos x; y=ln x;

1. x_i=20^o, 22^o, 25^o, 26^o; x^*=23^o. 21. x_i=2; 2,5; 3; 4; x^*=e.

2. x_i=27^o, 28^o, 30^o, 32^o; x^*=29^o. 22. x_i=10, 13, 14, 16; x^*=11.

3. x_i=30^o, 31^o, 33^o, 35^o; x^*=32^o. 23. x_i=11, 13, 16, 18; x^*=12.

4. x_i=35^o, 38^o, 40^o, 43^o; x^*=37^o. 24. x_i=1, 2, 4, 5; x^*=e.

5. x_i=40^o, 45^o, 48^o, 51^o; x^*=43^o. 25. x_i=5, 6, 8, 9; x^*=7.

y=sin x; y=lg x;

5. x_i=7^o, 9^o, 14^o, 17^o; x^*=12^o. 11. x_i=6, 8, 11, 12; x^*=10.

6. x_i=15^o, 18^o, 21^o, 23^o; x^*=20^o. 12. x_i=9, 12, 15, 19; x^*=10.

7. x_i=17^o, 22^o, 25^o, 30^o; x^*=28^o. 13. x_i=98, 102, 107, 112; x^*=100.

8. x_i=25^o, 29^o, 34^o, 37^o; x^*=30^o. 14. x_i=110, 115, 119, 121; x^*=113.

9. x_i=40^o, 45^o, 51^o, 55^o; x^*=50^o. 15. x_i=115, 119, 124, 128; x^*=120.

16. x_i=14, 16, 19, 21; x^*=17.

17. x_i=15, 18, 21, 23; x^*=20.

18. x_i=12, 14, 17, 19; x^*=16.

19. x_i=20, 22, 26, 29; x^*=25.

20. x_i=8, 10, 11, 13; x^*=9.

Б2. Интерполирование с помощью формул Ньютона,

Стирлинга, Бесселя.

Используя таблицу значений функции (все приведенные знаки верны в узком смысле):

а) составить таблицу конечных разностей;

б) вычислить значения функции для указанных значений аргументов и оценить погрешность результатов.

xi	yi	1. x1^*=1,18; x2^*=1,38;
1,1	0,89121	x3^*=1,25; x4^*=2,16.
1,2	0,93204	2. x1^*=1,12; x2^*=1,46;
1,3	0,96356	x3^*=1,55; x4^*=2,18.
1,4	0,98545	3. x1^*=1,16; x2^*=1,57;
1,5	0,99750	x3^*=1,65; x4^*=2,17.
1,6	0,99957	4. x1^*=1,15; x2^*=1,75;
1,7	0,99166	x3^*=1,88; x4^*=2,14.
1,8	0,97385	5. x1^*=1,17; x2^*=1,66;
1,9	0,94630	x3^*=1,95; x4^*=2,15.
2,0	0,90930
2,1	0,86321
2,2	0,80850

xi	yi	6. x1^*=0,504; x2^*=0,524;
0,50	1,6487	x3^*=0,535; x4^*=0,604.
0,51	1,6653	7. x1^*=0,503; x2^*=0,533;
0,52	1,6820	x3^*=0,545; x4^*=0,603.
0,53	1,6989	8. x1^*=0,502; x2^*=0,542;
0,54	1,7160	x3^*=0,555; x4^*=0,602.
0,55	1,7333	9. x1^*=0,506; x2^*=0,556;
0,56	1,7507	x3^*=0,565; x4^*=0,606.
0,57	1,7683	10. x1^*=0,508; x2^*=0,568;
0,58	1,7860	x3^*=0,575; x4^*=0,608.
0,59	1,8040
0,60	1,8221
0,61	1,8404
xi	yi	11. x1^*=1013; x2^*=1043;
1010	3,00432	x3^*=1065; x4^*=1113.
1020	3,00860	12. x1^*=1012; x2^*=1032;
1030	3,01284	x3^*=1055; x4^*=1112.
1040	3,01703	13. x1^*=1014; x2^*=1054;
1050	3,02119	x3^*=1075; x4^*=1114;
1060	3,02531	14. x1^*=1016; x2^*=1066;
1070	3,02938	x3^*=1085; x4^*=1116.
1080	3,03342	15. x1^*=1018; x2^*=1078;
1090	3,03743	x3^*=1095; x4^*=1118.
1100	3,04139
1110	3,04532
1120	3,04922

xi	yi	16. x1^*=2,706; x2^*=2,756;
2,70	0,3704	x3^*=2,77; x4^*=2,906.
2,72	0,3676	17. x1^*=2,708; x2^*=2,768;
2,74	0,3650	x3^*=2,87; x4^*=2,908.
2,76	0,3623	18. x1^*=2,709; x2^*=2,769;
2,78	0,3597	x3^*=2,81; x4^*=2,909.
2,80	0,3571	19. x1^*=2,712; x2^*=2,772;
2,82	0,3546	x3^*=2,85; x4^*=2,912.
2,84	0,3521	20. x1^*=2,715; x2^*=2,835;
2,86	0,3497	x3^*=2,89; x4^*=2,915.
2,88	0,3472
2,90	0,3448
2,92	0,3425

xi	yi	21. x1^*=0,63; x2^*=0,88;
0,6	1,8221	x3^*=1,05; x4^*=1,63.
0,7	2,0138	22. x1^*=0,68; x2^*=0,93;
0,8	2,2255	x3^*=1,25; x4^*=1,68.
0,9	2,4596	23. x1^*=0,64; x2^*=1,07;
1,0	2,7183	x3^*=1,45; x4^*=1,64.
1,1	3,0042	24. x1^*=0,67; x2^*=1,22;
1,2	3,3201	x3^*=1,15; x4^*=1,67.
1,3	3,6693	25. x1^*=0,66; x2^*=1,34;
1,4	4,0552	x3^*=0,95; x4^*=1,66.
1,5	4,4817
1,6	4,9530
1,7	5,4739

Б3. Обратное интерполирование (случай неравноотстоящих узлов)

По таблице задачи Б1 определить значение аргумента x^*, соответствующее указанному значению y^* функции f(x).

1. y^*=0,914 2. y^*=0,857 3. y^*=0,829

4. y^*=0,777 5. y^*=0,695 6. y^*=0,175

7. y^*=0,326 8. y^*=0,391 9. y^*=0,454

10. y^*=0,743 11. y^*=0,93 12. y^*=1,15

13. y^*=2,02 14. y^*=2,07 15. y^*=2,09

16. y^*=3,873 17. y^*=4,062 18. y^*=4,243

19. y^*=4,9 20. y^*=3,5 21. y^*=0,8

22. y^*=2,5 23. y^*=2,7 24. y^*=1,1

25. y^*=2

Б4. Обратное интерполирование

(случай равноотстоящих узлов)

По таблице задачи Б2 определить значение аргумента x^*, соответствующее указанному значению y^* функции f(x).

1. y^*=0,81 2. y^*=0,82 3. y^*=0,83

4. y^*=0,84 5. y^*=0,86 6. y^*=1,7

7. y^*=1,75 8. y^*=1,8 9. y^*=1,65

10. y^*=1,83 11. y^*=3,008 12. y^*=3,010

13. y^*=3,046 14. y^*=3,035 15. y^*=3,040

16. y^*=0,35 17. y^*=0,36 18. y^*=0,37

19. y^*=0,345 20. y^*=0,361 21. y^*=3,2

22. y^*=2 23. y^*=3 24. y^*=4

25. y^*=5

К оглавлению

Назад к разделу "Методические указания и типовые задачи"

Вперед к разделу "Численное дифференцирование"