Если вероятность события p (или q) в отдельном испытании близка к нулю (такие события называются редкими), то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине произведения np (меньше 10) вероятности Pn(m), полученные по формуле (1.9), недостаточно близки к их истинным значениям. В таких случаях применяют другую асимптотическую формулу - формулу Пуассона, справедливость которой доказывает следующая теорема.
Теорема. Если вероятность p
наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число
независимых испытаний n достаточно
велико, произведение np = l (см. далее), то вероятность
Pn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А
наступит m раз приближенно равна 
, т.е.:
.
Для вычисления вероятности 
воспользуемся формулой
Бернулли. Имеем:
.
Так как, по условию, np=
то p=
/n. Тогда:
и 
.
Условия теоремы требуют, чтобы вероятность события p была мала, а число испытаний n велико. Обычно указанную формулу
используют, когда n
10, лучше n100, а np<10.
Пример 1.11. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 ч работы устройства придется пять раз менять микросхему?
Решение. По
условию, n=1000, p=0,004, а 
=np=1000×0,004=4<10. Для
нахождения вероятности P1000(5) воспользуемся формулой Пуассона, так
как условия ее применения выполнены. Имеем:
Назад к разделу "Локальная и интегральная теоремы Лапласа"
Вперед к разделу "Случайные величины и их числовые характеристики"