Повторение испытаний. Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание (опыт) испытания повторяется многократно.
Поставим задачу общем виде.
Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А,
либо противоположное ему событие 
. Проведем n испытаний
Бернулли. Это означает, что все n
испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно
взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не
изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим
вероятность Р(А) появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. Р(А) = р, а вероятность Р(
) - буквой q,
т.е. Р(
) = 1- 
= 1-p = q.
Найдем вероятность Pn(m) наступления события А ровно m раз (ненаступления n-m раз) в этих n испытаниях. Отметим, что здесь не требуется появление m раз события А в определенной последовательности.
Обозначим: Ai
- появление события А в i-м опыте; 
- непоявление события
А в i-м опыте, где i=1, 2, 3, ..., n.
Для одного испытания
возможны следующие два исхода: А, 
. Вероятности этих исходов выпишем в виде следующей таблицы:
|
События |
А |
|
|
Вероятность |
p |
q |
Очевидно, P1(1) = p; P1(0) = q и P1(1)+P1(0)=(p+q)1 = 1.
Для двух испытаний возможно
следующие 4 = 22 исхода: А1А2, 
, 
, 
. Вероятность этих исходов также запишем в виде таблицы:
|
События |
А1А2 |
|
|
|
|
Вероятность |
p2 |
pq |
pq |
q2 |
Очевидно, P2(2) =
p2, P2(1) = P(
) + P(
) = 2pq, P2(0) = q2 и P2(2)+P2(1)+P2(0)
= p2+2pq+q2 = (p+q)2 = 1.
Для трех испытаний возможны
следующие 8 = 23 исходов A1A2A3, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Вероятности этих исходов запишем в виде таблицы:
|
События |
A1A2A3 |
|
|
|
|
|
Вероятность |
p3 |
p2q |
p2q |
p2q |
pq2 |
|
События |
|
|
|
|
Вероятность |
pq2 |
pq2 |
q3 |
Очевидно, P3(3) = p3,
P3(2) = P(
)+P(
)+P(
)=3p2q,
P3(1) = P(
)+P(
)+P(
) = 3pq2, P3(0) = q3
и P3(3)+P3(2)+P3(1)+P3(0) = p3+3p2q+3pq2+q3
= (p+q)3 = 1.
Анализируя эти случаи, можно
сделать общий вывод: вероятность Pn(m) пропорциональна произведению pmqn-m, причем
коэффициент пропорциональности равен 
т.е.:
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Пример 1.9. Монету бросают 6 раз. Какова вероятность того, что 4 раза выпадет “орел”.
Решение. Обозначим: количество испытаний n = 6; число наступлений события “выпадет орел” m = 4; вероятность наступления события “выпадет орел” p = 0,5; тогда q = 1-p = 0,5.
По формуле Бернулли получаем:
Назад к разделу "Формулы полной вероятности и вероятности гипотез"