1.8. Однородные системы линейных уравнений

 

Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю.

 

   (1)

 

 

Очевидно, что система однородных уравнений (1) всегда совместна, так как имеет нулевое решение . Это следует также из теоремы Кронекера - Капелли: в случае однородной системы .

При решении системы однородных уравнений можно поставить вопрос: при каком условии однородная система (1) является неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система (1) имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие r(A)<n.

Действительно, если r(A)=n, то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение: .

Еслиr(A)<n, то система (1) является неопределенной (несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество решений.

Пусть  - какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (1). Представим это решение как вектор-строку . Тогда  тоже, очевидно, будет решением системы (1). Далее, если  какое-то другое решение системы (1), отличное от , то при любых  и  линейная комбинация

данных решений тоже будет решением системы, так как если

 

то и   .

 

Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (1) тоже будет ее решением.

Определение. Линейно независимая система решений  системы (1) называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если r(A)<n, то система (1) обладает фундаментальными системами решений. Рассмотрим систему уравнений

 

    (2)

 

 

и соответствующую ей систему однородных уравнений

 

 

         (3)

 

 

 

Пусть          - какое-то решение системы (2) и  любое другое ее решение, отличное от. Очевидно, что разность  будет решением системы (3), и если  - произвольное решение однородной системы (3), то очевидно, что  является решением системы (2). Отсюда следует, что все решения системы (2) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (3).

Таким образом, общее решение системы (2) равно линейной комбинации общего решения однородной системы (3) и произвольного, но фиксированного решения системы (2). Если  фундаментальная система решений однородной системы (3) и  - произвольное фиксированное решение системы (2), то общее решение системы (2) имеет вид , где  - произвольные числа.

Пример. Найти фундаментальную систему однородной системы уравнений.

 

Решение. Решаем систему методом Жордана-Гаусса:

 

 

Общее решение имеет вид:

 

 

 

Решение  получим, придавая свободным неизвестным значения :

 

, и решение  получим,    полагая :

 

 

. Таким   образом,   одна  из   фундаментальных   систем решений имеет вид:

 

,.

 

Общее решение системы можно представить в следующем виде: где  - произвольные числа.
Например, полагая , получим одно из частных решений: .

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "1.7. Метод полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса"

Вперед к разделу "1.9. Действия над векторами"