Часть 1.Элементы линейной алгебры.

 

1.1. Определители и их свойства

 

Всякое расположение n натуральных чисел 1,2,3,…n (элементов) в определенном  порядке называют перестановкой из n элементов. Существует n! различных перестановок. Говорят, что числа i и j образуют инверсию в данной перестановке, если число i  больше числа j и располагается левее этого числа j. Обозначим через S общее число инверсий, образуемых элементами данной перестановки. Если S – четное число, то перестановка называется четной, в противном случае – нечетной.

Определителем  n-ого порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы (матрицы):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со знаком «плюс» или «минус». Для определения знака, с которым входит данное произведение в определитель, располагают элементы в этом произведении так, чтобы первые индексы образовали перестановку без инверсий (1,2,3,…,n), затем подсчитывают общее число инверсий S в перестановке, составленной из вторых индексов элементов преобразованного произведения. Если перестановка четна, то данное произведение входит в определитель со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус». Определитель n-ого порядка изображается в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в определителе n-ого порядка вычеркнуть i-ую строку (i=1,2,3…n) и j-й столбец (j=1,2,3…,n) то получится определитель (n-1)-го порядка, называемый дополнительным минором M_ij к элементу a_ij определителя   .

Алгебраическим дополнением A_ij, соответствующим элементу a_ij  в определителе , называется соответствующий ему минор, взятый со знаком:

A_ij=(-1)^i+j.M_ij.

При вычислении определителей часто пользуются  следующими их свойствами:

1)         определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие  этим элементам алгебраические дополнения:

=a_i1A_i1+a₁₂+A₁₂+…+a_inA_in = ();

2)         определитель равен нулю, если одна из его строк (столбцов) состоит из нулей;

3)         определитель равен нулю, если две его строки (столбца) равны;

4)         определитель равен нулю, если все соответствующие элементы каких-либо двух его строк (столбцов) пропорциональны;

5)         общий множитель элементов любой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя;

6)         определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца)  прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

С помощью свойств 5 или 6 получают из исходного определителя равное ему выражение, содержащее элемент, равный 1 или -1, который называют направляющим. Затем с помощью свойства 6 в строке (столбце), содержащей направляющий элемент, получают на месте остальных элементов нули. Далее, применяя свойство 1 в отношении строки (столбца), состоящей из (n-1) нулей, вычисление определителя n-ого порядка фактически сводят к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка. Следует отметить, что если в исходном определителе или в определителях низшего порядка, получаемых в процессе вычислений, имеется элемент, равный 1 или -1, то за направляющий можно брать именно этот элемент; кроме того, если в процессе вычислений   становится очевидным свойство 4  (например, все элементы строки или столбца равны нулю), то вычисление заканчивается.

 

Пример 1. Являются ли членами определителя шестого порядка следующие произведения:

а) а₃₁ а₅₆ а₃₂ а₄₅ а₆₄ а₁₃;

б) а₂₆ а₃₂ а₅₂ а₄₃ а₆₄ а₁₅?

Если являются, то определить знак.

Решение. Произведение а) не является членом определителя шестого порядка, так как два элемента  а₃₁ и а₃₂ взяты из третьей строки. Произведение б) является членом определителя шестого порядка, так как в него входят элементы, взятые из каждой строки и каждого столбца. Чтобы определить знак данного числа, запишем его элементы по возрастанию первых индексов:

а₁₅а₂₆а₃₂а₄₃а₅₂а₆₄

Выпишем перестановку из вторых индексов: 5, 6, 2, 3, 1, 4 – и определим число инверсий в ней. До единицы стоят 4 элемента, следовательно, она образует 4 инверсии,
S₁= 4. Затем единицу зачеркиваем и подсчитываем число оставшихся элементов, стоящих до двойки: S₂=2. Далее S₃=2; S₄=2; S₅=0; S₆=0. Общее число инверсий в данной подстановке равно сумме: S=4+2+2+2+0+0=10. Так как число инверсий четное, то данный член определителя имеет знак «плюс».

Пример 2. Вычислить определитель.

 

          =  

        

Решение. Получим на месте какого-либо элемента определителя единицу. Для этого возьмем два элемента, отличающиеся друг от друга на единицу, например 4 и 5 в первой строке. Вычтем из четвертого столбца третий. Возьмем за направляющий элемент этого определителя а₁₄=1 получим нули в четвертом столбце. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на 3, из третьей и четвертой строк вычтем первую; полученный определитель разложим по элементам четвертого столбца:

 

= ==1·(-1)¹⁺⁴·=- ^.

 

 

Сведем вычисления последнего определителя третьего порядка к вычислению

                      “-“                                                       “+“

  

          

 

 

                 

 

Рис.1. Вычисление определителя по правилу Саррюса.

определителя второго порядка. Для этого вынесем за знак определителя общий множитель 2 элементов второй строки и в качестве направляющего элемента получившегося определителя возьмем, например а₂₃ = -1. Получим нули во второй строке определителя-сомножителя, прибавляя его третий столбец ко второму и к первому столбцам:

                  

 = (-2) ·=(-2) ·

 

Далее, разлагая последний определитель по элементам второй строки, будем иметь:

 

= (-2) · (-1) ·А₂₃=2· (-1)²⁺³· = - 2· [26 · (-2)-30·2]=224.

 

Определитель третьего порядка можно вычислить и по правилу Саррюса. Выделим главную диагональ определителя, идущую с верхнего левого угла к нижнему правому, и треугольники, основания которых параллельны главной диагонали. Произведения этих элементов берем с “плюсом”. Выделим также побочную диагональ определителя, идущую с верхнего правого  угла к нижнему левому, и треугольники, основания которых параллельны побочной диагонали. Соответствующие произведения элементов берем с “минусом”.

Таким образом, для определения третьего порядка будем иметь:

  =-[9·2·(-1)+13·(-2)·3+17·2·(-1)-17·2·3-9·(-2)·(-1)-13·2·(-1)]= =18+78+34+102+18-26=224.

 

Упражнения

Определить число инверсий в перестановках.

1.1.1.   2, 1, 3, 4, 6, 5;

1.1.2.   3, 2, 4, 7, 5, 1, 6;

1.1.3.   1, 4, 8, 5, 6, 2, 3, 7;

1.1.4.   9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1;

1.1.5.   n, n-1, n-2, n-3,….,3, 2, 1;

1.1.6.   2, 4, 6,…,2n, 1, 3, 5,…,2n-1;

1.1.7.   1, 3, 5,…,2n-1, 2, 4, 6,…,2n;

1.1.8.   4, 8,…,4n, 3, 7,…,4n-1, 2, 6,…,4n-2, 1, 5,…,4n-3;

1.1.9.   3, 9, 6,…,3n, 1, 4, 7,…,3n-2, 2, 5, 8,…,3n-1;

 

C какими знаками входят в определитель следующие члены:

1.1.10.   a₃₁ a₄₂ a₅₃ a₁₆ a₂₄ a₆₅;  

1.1.11.   a₂₅ a₄₃ a₇₂ a₅₁ a₃₄ a₁₆ a₆₇;

1.1.12.   a₁₃ a₅₄ a₃₂ a₆₁ a₂₆ a₄₅;

1.1.13.   a₁₁a₂₃a₃₄ … a_n-1,na_n2;

1.1.14.   a₂₁ a₁₂ a₄₃ a₃₄ … a_2n,2n-1 a_2n-1,2n;

 

Являются ли членами определителя следующие произведения?

Если являются, то определить их знак.

1.1.15.    a₁₃ a₂₄ a₃₂ a₄₃ a₅₅;

1.1.16.    a₂₅ a₄₃ a₅₂ a₁₄ a₃₁;

1.1.17.    a₈₂ a₃₅ a₄₁ a₆₃ a₅₆ a₁₇ a₇₄ a₂₈;

1.1.18.    a₁₂ a₂₃ a₄₃ a₃₄ … a_n-i,n , где 1 i n.

1.1.19.  Подобрать числа i и j так, чтобы произведение а_1i·a₅₂·a_4j·a₂₃·a₅₃ входило в определитель пятого порядка со знаком плюс.

1.1.20.   Записать все члены определителя 4-го порядка, входящие в него со знаком минус и содержащие множителем элемент а₃₂ .

1.1.21.   Не вычисляя определителя, показать, почему он равен нулю:

                                        

         а)    б)     в)      

                                       

1.1.22.   Вычислить определители:

 

          а)      б)          

 

1.1.23.   Числа 182, 299 и 312 делятся на 13. Доказать, что определитель

 

           а)

 

               делятся на 13.

 

1.1.24.   Вычислить определитель:

             

                   

 

1.1.25.   Найти определители (б) и (в), зная определитель (а):

 

           а) =-3,  б),  в).         

                    

 

1.1.26.  Вычислить определители тремя способами: по правилу треугольников (или по правилу Саррюса); путем разложения по элементам третьей строки; путем “накопления” единицы с нулями во втором столбце:

 

          а),  б),  в), г).

 

1.1.27.   Вычислить определитель путем разложения по элементам последнего столбца:

 

           a),  б),   в).

 

                 

1.1.28.   Вычислить определитель путем разложения по элементам первого столбца:

           

          а),  б),  в).

 

Вычислить определители:

 

1.1.29.   1.1.30.    1.1.31.

 

 

1.1.32.   1.1.33.    1.1.34.

 

       

1.1.35.   1.1.36.    1.1.37.

 

       

1.1.38.     1.1.39.

 

 

1.1.40.  1.1.41.   

 

 

1.1.42.

 

 

Вычислить определители n-ого порядка:

 

1.1.43.    1.1.44.

 

 

 

1.1.45.   1.1.46.

 

 

 

1.1.47.  1.1.48.

 

                 

 

 

К оглавлению

Вперед к разделу "1.2. Матрицы и операции над ними"