5.1.
Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
Зададимся
последовательностью совокупностей точек
удовлетворяющих условию: все
точки 
– различны. В
частности, можно положить
,
где 
– малая величина.
Построим по всем этим точкам разделенную разность порядка 
.
Определим
(5.3)
Рассмотрим сначала случай,
когда под знаком разделенной разности левой части (5.3) повторяется только один
узел xi и разделенная разность порядка ki-1
вычисляется только по этому повторяющемуся узлу. Согласно определению (5.3)
По формуле связи (4.13)
между разделенной разностью и производной имеем
(5.4)
где x – точка, принадлежащая наименьшему отрезку,
содержащему все точки 
. Перейдя в равенстве (5.4) к пределу при 
, получим
(5.5)
Итак, если при 
производная 
непрерывна, то
существуют разделенные разности
Но это обеспечивает также
существование разделенной разности с кратными узлами левой части (5.3), т.к.
все остальные разделенные разности, необходимые для ее вычисления, находятся
путем последовательного применения рекуррентных формул
и их обобщений. Чтобы не
проводить громоздкого вывода для общего случая формулы (5.3), рассмотрим
иллюстративную таблицу. Приведенные в этой таблице вычисления переносятся на
общий случай без всяких принципиальных затруднений.
Требуется найти 
, если заданы 
.
|
№ строк |
1 xi |
2 f(xi) |
3 f[xi,
xj] |
4 Разности II порядка |
5 III пор. |
6 IV пор |
7 V пор |
8 VI пор |
|
0 |
x0 |
f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x0 |
f(x0) |
|
f[x0;
x0, x1] |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
f[x0,
x1] |
|
f[x0,
x0; x1, x1] |
|
|
|
|
4 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x0;
x1, x1] |
|
f[x0, x0; x1,
x1;x2] |
|
|
|
5 |
|
|
f’(x1) |
|
f[x0,
x1; x1; x2] |
|
f[x0,
x0; x1; x1;x2,x2] |
|
|
6 |
x1 |
f(x1) |
|
f[x1,
x1; x2] |
|
f[x0; x1, x1;
x2;x2] |
|
f[x0, x0; x1;
x1;x2,x2,x2] |
|
7 |
|
|
f[x1,
x2] |
|
f[x1,
x1; x2, x2] |
|
f[x0;
x1, x1; x2,x2,x2] |
|
|
8 |
x2 |
f(x2) |
|
f[x1;
x2, x2] |
|
f[x1, x1; x2,
x2,x2] |
|
|
|
9 |
|
|
f’(x2) |
|
f[x1;
x2; x2, x2] |
|
|
|
|
10 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
f’(x2) |
|
|
|
|
|
|
12 |
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
|
|
Левый столбец таблицы – для
нумерации строк, верхняя строка – для нумерации столбцов. В первом столбце в
строках с четным номером приведены аргументы искомой разделенной разности. Во
втором столбце в тех строках, что и аргументы, помещены соответствующие
значения функции. Третий столбец предназначен для разделенных разностей первого
порядка. Они размещаются в строках с нечетными номерами между строк, в которых
находятся соответствующие узлы (аргументы) и значения функции. Если узлы
повторяются, как это имеет место для строк 1, 5, 9, 11, то сюда помещают
значение первой производной. В строках 3, 7 помещены обычные разделенные
разности первого порядка. Столбец 4 предназначен для разделенных разностей
второго порядка. За исключением последней из них (строка 10), где
,
они находятся обычным
способом по рекуррентной формуле. Так,
.
Аналогично и для остальных
разностей. В пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах находятся,
соответственно, разделенные разности третьего, четвертого, пятого и шестого
порядков. Они вычисляются по обычным рекуррентным формулам. Например,
.
Назад к разделу "5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ И СПЛАЙНЫ"