Программа курса "Вычислительная математика"

 

Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность функции. Обратная задача теории погрешностей.

Тема 2. Приближение функций. Постановка задачи приближения функций. Классы аппроксимирующих функций. Критерии согласия. Погрешность аппроксимации.

         Интерполяционные методы приближения функций. Алгебраическое интерполирование. Многочлен Лагранжа и его остаточный член. Оптимизация узлов интерполирования. Многочлены Чебышева. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционные многочлены Ньютона с разделенными разностями. Конечные разности и их свойства. Интерполяционные многочлены Ньютона, Стирлинга и Бесселя. Интерполирование с кратными узлами. Обратное интерполирование. Интерполяция и приближение сплайнами.

Тема 3. Численное дифференцирование. Вывод формул численного дифференцирования. Остаточная погрешность. Вычислительная погрешность при численном дифференцировании и выбор оптимального шага таблицы производных.

Тема 4. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Оценка погрешности квадратурной формулы. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на части. Интегрирование функций с заданной степенью точности. Практическая оценка погрешности. Правило Рунге. Квадратурные формулы Гаусса.

Тема 5. Решение нелинейных уравнений и методы одномерной оптимизации. Отделение корней: правило кольца, теорема Лагранжа, теорема Штурма. Уточнение корней: метод итераций, метод Ньютона, метод хорд. Постановка задачи одномерной оптимизации. Поиск отрезка, содержащего точку экстремума. Дихотомический поиск. Метод золотого сечения. Метод средней точки (бисекции). Метод хорд. Метод ДСК-Пауэлла. Метод кубической аппроксимации. Метод Ньютона-Рафсона.

Тема 6. Численные методы алгебры. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации, условия его сходимости. Оценка погрешности.

Тема 7. Основные понятия численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта. Контроль погрешности на шаге. Понятие о конечноразностных методах. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса.

 

Вперед к разделу "Вопросы по курсу  "Вычислительная математика""