Сегодня вы изучите вопросы

1. Алгоритмы вычисления обратной матрицы

2. Алгоритмы определения ранга матрицы

Изучив тему занятия, вы сможете

• находить обратную матрицу для данной квадратной матрицы;

• находить решения любых систем линейных алгебраических уравнений.

Основные понятия

• обратная матрица

• ранг матрицы

Известно, что число называется обратным к числу , если . Обратное число существует для любого числа, кроме нуля, и при этом является единственным. Аналогично введем для квадратных матриц понятие обратной матрицы, используемой обычно при решении систем линейных уравнений.

Если две квадратные матрицы А и В одного и того же формата n таковы, что , то говорят, что матрицы А и В являются обратными друг другу, и используют обозначение .

Таким образом, матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если .

Выясним, какие матрицы имеют обратные матрицы, и если матрица А имеет обратную , то как ее находить.

Квадратная матрица А называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю , в противном случае, то есть при , матрица А называется невырожденной (неособенной).

Нахождение обратных матриц опирается на следующую теорему, которую приведем без доказательства.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, и притом единственную.

Пусть дана квадратная матрица формата n 

.

Приведем алгоритм вычисления обратной матрицы :

1. Вычисляем определитель и убеждаемся, что ;

2. Составляем квадратную матрицу формата n следующим образом: на место каждого элемента поставим алгебраическое дополнение этого элемента, то есть

   

3. Транспонируем матрицу

   .

   Замечание. Полученная матрица называется присоединенной или союзной матрицей.

4. Находим обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычислений, убедившись, что соотношение выполняется.

1. Находим определитель матрицы А

   

2. Составляем квадратную матрицу , для этого находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

   ; ;

   ; ;

   ; ;

   ; ;

   .

   

3. Транспонируем матрицу

   

4. Находим обратную матрицу

   

5. Проведем проверку:

   

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов:

.

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов, причем . Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.

Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы А. В матрице А квадратиком выделен минор -го порядка.

Количество комбинаций из k разных строк, отличающихся номером хотя бы одной строки, которые можно выделить из m строк заданной матрицы, определяется как число сочетаний из m элементов по k: Аналогично из n столбцов заданной матрицы можно составить комбинаций по k. Следовательно, в прямоугольной матрице порядка можно составить миноров k-го порядка.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы называется рангом матрицы А и обозначается r, r(A) или rang A.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным, а строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными. Заметим, что базисных миноров у матрицы может оказаться больше чем один.

Из определения следует, что рангом обладает любая матрица, а ранг нулевой матрицы равен нулю. Если в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не меньше единицы. В случае, когда все миноры k-го и выше порядков равны нулю, .

Отметим, что из свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется:

• при транспонировании матрицы, то есть ;

• при перестановке каких-либо строк (столбцов);

• при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и тоже отличное от нуля число k;

• при сложении элементов одной строки (одного столбца) с соответствующими элементами другой строки (другого столбца), умноженное на некоторое число .

Ранг матрицы не изменяется и при элементарных преобразованиях матрицы.

.

Решение. Все миноры третьего порядка равны нулю. Имеется минор второго порядка, отличный от нуля . Следовательно, .

На практике определение ранга представляет собой трудоемкую операцию, поэтому, чтобы найти ранг матрицы, ее обычно приводят к виду, когда базисный минор становится очевидным. С этой целью применяют так называемые элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются:

1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2) умножение всех элементов ряда матрицы на одно и то же отличное от нуля число.

3) прибавление элементов какого-либо ряда матрицы к соответствующим элементам параллельного ряда, умноженных на одно и тоже не равное нулю число;

4) вычеркивание ряда матрицы, являющегося линейной комбинацией других параллельных ему рядов, в том числе состоящих из одних нулей.

Примечание. Матрица, полученная из данной с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной этой матрице. Эквивалентность матриц обозначается знаком ~.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен p.

Решение. Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Полученная ступенчатая матрица содержит три ненулевых строки, а это означает, что ее ранг равен 3. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.

Задание 1. Примеры для самоподготовки

(ранг матрицы, обратная матрица)

1. Найти ранг матриц:

   1.1.

   Ответ. 1;

   1.2.

   Ответ. 2;

   1.3.

   Ответ. 1.

   1.4.

   Ответ.1;

   1.5.

   Ответ. 2;

   1.6.

   Ответ. 3;

   1.7.

   Ответ. 2.

2. Найти обратную матрицу для следующих матриц:

   2.1.

   Ответ. = ;

   2.2.

   Ответ. = ;

   2.3.

   Ответ. = .

Задание 2. Примеры для самопроверки

(отметьте правильный вариант ответа)

1. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

2. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

3. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

4. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

5. 5. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4

6. Найти ранг матрицы

   

   1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4

7. Найти обратную матрицу для матрицы

   

   1) = ;

   2) = ;

   3) = ;

   4) = ;

   5) = .

8. Найти обратную матрицу для матрицы

   

   1) = ;

   2) = ;

   3) = ;

   4) = ;

   5) = .

9. Найти обратную матрицу для матрицы

   

   1) = ;

   2) = ;

   3) = ;

   4) = ;

   5) = .

10. Найти обратную матрицу для матрицы

    

    1) = ;

    2) = ;

    3) = ;

    4) = ;

    5) = .