Сегодня вы изучите вопросы

1. Определитель матрицы

2. Свойства определителей

3. Минор

4. Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Изучив тему занятия, вы сможете

• вычислять значения определителей любого порядка;

• решать системы линейных уравнений.

Основные понятия

• определитель матрицы

• минор

• алгебраическое дополнение

Понятие определителя вводится лишь для квадратных матриц. Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n–го порядка этой матрицы.

Для записи определителя матрицы А используются следующие обозначения: , , , или развернутое, учитывающее связь с элементами заданной матрицы , где вертикальные линии вместо круглых (матричных) скобок указывают на то, что здесь речь идет об определителе матрицы А (о единственном числе), а не о таблице чисел.

Числа в этом случае называются элементами определителя. При этом, как и в матрице А, элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы  — побочную.

Введем понятие определителя сначала для квадратных матриц первого, второго и третьего порядка, а затем распространим на квадратные матрицы любого порядка.

Определителем матрицы , то есть матрицы, состоящей из одного элемента (определителем первого порядка), называется само число :

.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка , тогда ее определителем (определителем второго порядка) называется число

.

Решение: 

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка , тогда определителем третьего порядка данной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:

Замечание. При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать следующим образом:

.

Рассмотрим свойства определителей второго и третьего порядков.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы равен определителю ее транспонированной матрицы: .

Докажем это свойство для определителя второго порядка. Действительно,

, , то есть

.

Свойство 2. При перестановке столбцов (строк) определитель меняет только знак.

Действительно, если , то

Замечание. В дальнейшем для упрощения формулировок свойств определителей строки и столбцы матрицы будем называть рядами.

Свойство 3. Если какой-нибудь ряд матрицы является линейной комбинацией некоторых параллельных ему рядов, то определитель этой матрицы равен нулю. Действительно, пусть имеется следующая квадратная матрица третьего порядка: , тогда

Следствие 1. Определитель, имеющий одинаковые параллельные ряды, равен нулю.

Следствие 2. Определитель, содержащий ряд из одних нулей, равен нулю.

Свойство 4. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых элементами соответствующего ряда являются первые слагаемые, у другого — вторые, а остальные элементы этих двух определителей те же, что у данного:

.

Действительно,

Свойство 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Действительно,

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Действительно, на основании свойств 4 и 5

и, согласно следствию 1, второй определитель равен нулю, следовательно .

Для формулировки следующих свойств определителей возникает необходимость введения понятий минора и алгебраического дополнения.

Введем понятие минора для элементов определителя третьего порядка. Пусть имеется определитель третьего порядка

.

Возьмем элемент .

Вычеркнем в ней -ю строку и -ый столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы 2-го порядка называется минором элемента -ой строчки и -го столбца матрицы А и обозначается .

Например, минор элемента обозначают . Таким образом, по определению для определителя

, , , и т.д.

Введем понятие минора для определителя n-го порядка

.

Выделим в нем какой-либо элемент и вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором элемента

определителя .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы порядка n называется число, рассчитанное по формуле .

Согласно этой формуле, алгебраическое дополнение совпадает с минором , если сумма индексов i + j является четным числом и имеет знак, противоположный знаку минора , если сумма индексов  — нечетное число.

Теорема. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть

;

;

;

;

;

.

Данная теорема справедлива и для определителя n-го порядка. Определитель n-го порядка равен сумме произведений любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть

;

.

Данные равенства называют разложениями определителя (формулами разложения) по строке или по столбцу соответственно.

Все свойства, доказанные выше для определителей второго и третьего порядков, справедливы и для определителя n-го порядка.

В завершении приведем еще два важных свойства определителей.

Свойство 7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Докажем данное свойство для определителя третьего порядка. С этой целью вычислим сумму произведений элементов первой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов третьей строки:

Свойство 8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Докажем это свойство для квадратных матриц второго порядка. Пусть

тогда с учетом свойств определителей

Задание 1. Примеры для самоподготовки

(вычисление определителей, миноров, алгебраических дополнений)

1. Вычислить определители:

   1.1.

   Ответ (-11);

   1.2.

   Ответ (17);

   1.3.

   Ответ (27);

   1.4. F

   Ответ (-8);

   1.5.

   Ответ (30);

   1.6.

   Ответ (0);

   1.7.

   Ответ (8).

2. Вычислить минор элемента определителя

   .

   Ответ. 3

3. Вычислить алгебраическое дополнение элемента определителя

   .

   Ответ. -5.

4. Используя свойства определителя, вычислить следующие определители:

   4.1. ;

   Ответ. 0

   4.2. .

   Ответ. 30.

5. Найти выражение определителя

   .

   Ответ. .

Задание 2. Примеры для самопроверки

(отметьте правильный вариант ответа)

1. Вычислить определитель

   

   1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) 9; 5) -11.

2. Вычислить определитель

   

   1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) 11; 5) -11.

3. Вычислить определитель

   

   1) 3; 2) -3; 3) 9; 4) -9; 5) 27.

4. Вычислить определитель

   

   1) 3; 2) -3; 3) 9; 4) -9; 5) 27.

5. Вычислить определитель

   

   1) 12; 2) 7; 3) -12; 4) -7; 5) 8.

6. Вычислить определитель

   

   1) 12; 2) 7; 3) -12; 4) -3; 5) 8.

7. Вычислить определитель

   

   1) 6; 2) 12; 3) -12; 4) 8; 5) 14

8. Вычислить определитель

   

   1) 6; 2) 12; 3) 22; 4) 8; 5) 14.

9. Вычислить определитель

   

   1) -2; 2) 4; 3) 7; 4) -5; 5) 0.

10. Вычислить определитель

    

    1) -2; 2) 0; 3) 7; 4) -5; 5) 10.

11. Вычислить определитель

    

    1) 1; 2) -1; 3) 2; 4) 0; 5) -2.

12. Вычислить определитель

    

    1) 0; 2) -1; 3) 2; 4) 11; 5) -2.

13. Вычислить минор элемента определителя

    

    1) 0; 2) -2; 3) 2; 4) 4; 5) 6.

14. Вычислить минор элемента определителя

    

    1) 0; 2) 2; 3) -2; 4) 4; 5) 6.

15. Вычислить алгебраическое дополнение элемента определителя

    

    1) 0; 2) 1; 3)-1; 4) 2; 5) -5.

16. Вычислить алгебраическое дополнение элемента определителя

    

    1) 0; 2) 1; 3)-1; 4) 2; 5) -5.

17. Используя свойства определителя, вычислить определитель:

    

    1) 4; 2) 0; 3) 6; 4) 2; 5) -7.

18. Используя свойства определителя, вычислить определитель:

    

    1) 1; 2) 0; 3) 6; 4) 2; 5) 4.

19. Используя свойства определителя, вычислить определитель:

    

    1) 10; 2) 20; 3) 30; 4) 40; 5) 50

20. Используя свойства определителя, вычислить определитель:

    

    1) 1; 2) 10; 3) 20; 4) 30; 5) 50.