Элементы высшей математики: Раздел 3. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Раздел 3. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Матрицы, определители

6.1.

Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

Сегодня вы изучите вопросы

Основы линейной алгебры
Основные понятия линейной алгебры
Понятие матрицы

Изучив тему занятия, вы сможете

умножать матрицу на число;
производить линейные операции над матрицами;
умножать матрицы;
возводить матрицы в натуральную степень.

Элементы линейной алгебры широко используются при решении большого числа прикладных экономических и управленческих задач. Успешное усвоение основных понятий данного занятия является основой для ее применения.

Основные понятия

матрица
операции над матрицами

6.1.1.

Матрица. Основные понятия

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, X, Y, Z, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где

— номер строки;

— номер столбца.

Например, матрица размеров имеет вид:

или в сокращенной записи

Например, матрица размеров имеет вид:

Наряду с круглыми скобками для обозначения матриц используются

и другие:

Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если при всех

Виды матриц

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)-столбцом и обозначается , а состоящая из одной строки — матрицей (вектором)-строкой, соответственно обозначается .

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы — побочную диагональ.

Например,

— квадратная матрица третьего порядка, элементами главной диагонали являются числа 1, 5, 9, а побочной — 7, 5 ,3.

Если все элементы, кроме элементов, образующих главную диагональ квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица называется диагональной.

Например, — диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается буквой Е.

Например, — единичная матрица третьего порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. Нулевая матрица имеет следующий вид:

В линейной алгебре матрицы Е и О играют такую же роль, какую играют числа 1 и 0 в арифметике.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

Пример 1. Так, если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

6.1.2.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число

Пусть — произвольная матрица, — произвольное действительное число.

Произведением матрицы А на число называется новая матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число , т.е.

Например,

Таким образом, можно выделить следующее следствие.

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Сложение и вычитание матриц

Эта операция определяется только для матриц одинаковой размерности (формата).

Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется новая матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Например, пусть А и В — матрицы размерности . Тогда по определению под суммой понимается

или .

Вышеприведенные действия над матрицами называются линейными.

Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами.

Переместительность (коммутативность) умножения матрицы на число .
Сочетательность (ассоциативность) со скалярным множителем .
Переместительность (коммутативность) сложения матриц .
Сочетательность (ассоциативность) сложения матриц .
Распределительность (дистрибутивность) сложения матриц относительно умножения на число .
Распределительность (дистрибутивность) относительно сложения чисел .

Таким образом, линейные операции над матрицами можно выполнять по аналогии с привычными правилами алгебры чисел.

Вычитание для матриц (как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению. Разностью матриц А и В(А — В) одинаковой размерности называется такая матрица С, что

В + С = А.

Легко заметить, что матрица С, удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только одна. Ее элементы определяются равенствами

Таким образом, при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц.

Например, .

Замечание. Знаки сравнения () для матриц любого формата лишены смысла.

Умножение матриц

Умножение матрицы А на матрицу В (рассматриваются именно в таком порядке) определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Иначе говоря, если порядок матрицы А равен , то порядок согласованной с ней матрицы В должен быть , где — любые натуральные числа.

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , что

, где

Таким образом, для вычисления элемента , стоящего в строке и в столбце матрицы С, следует каждый элемент строки матрицы А умножить на соответственный элемент столбца матрицы В и результат сложить.

Примеры:

1) .

2) .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Заметим, что умножение матриц некоммутативно: .

Выше было определено, что операция умножения имеет место только для согласованных матриц А и В, при этом матрицы, взятые в ином порядке (В и А), могут оказаться несогласованными, тогда их произведение не определено. Но даже в том случае, когда согласованность матриц не нарушается, произведения АВ и ВА могут оказаться разными.

Например, для матриц

и имеем:

, но

Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Очевидно, это может иметь место только в том случае, когда А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Например, коммутирующими являются матрицы

и .

Действительно,

то есть для данных матриц АВ = ВА.

Еще одно замечание: произведение двух матриц может быть нуль-матрицей, даже если ни один из сомножителей не является нуль-матрицей.

Например, пусть даны матрицы и . Найдем произведение АВ и ВА:

;

Отсюда следует, что умножение матриц обладает рядом свойств, не характерных для умножения действительных чисел, поэтому при действиях с матрицами необходимо проявлять осмотрительность и аккуратность.

В заключение, отметим свойства, присущие операции транспонирования:

1) ;