Сегодня вы изучите вопросы

1. Неопределенный интеграл

2. Основные свойства неопределенных интегралов

3. Геометрический смысл неопределенного интеграла

4. Таблица простейших неопределенных интегралов

5. Методы интегрирования неопределенного интеграла

Изучив тему занятия, вы сможете

• по таблице неопределенных интегралов найти первообразные;

• используя методы интегрирования найти нетабличные интегралы.

Основные понятия

• первообразная

• неопределенный интеграл

В предыдущем разделе по заданной функции по известным формулам была найдена ее производная. Например, если , то по формуле отыскания производной степенной функции находим, что .

Пусть требуется решить обратную задачу: дана функция, являющаяся производной некоторой функции; требуется найти такую функцию, первая производная которой равна заданной функции.

Например, пусть  — производная некоторой функции. Обратная задача состоит в отыскании такой функции , для которой .

Функция называется первообразной для функции .

Таким образом, по определению первообразной, если  — первообразная функции , то .

Покажем, что если функция имеет первообразную, то она их имеет бесчисленное множество. А именно, если  — первообразная функции , то , где С — произвольная постоянная, также является первообразной функции .

Действительно:

,

т.е. первообразная функции .

Докажем следующее утверждение. Если  — две произвольные первообразные функции то где С — произвольная постоянная.

Действительно, по условию  . Отсюда находим:

, или .

Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда , где С — произвольная постоянная, ч.т.д.

Совокупность (множество) всех первообразных заданной функции называется неопределенным интегралом этой функции и символически обозначается так:

,

где:  — знак интеграла;

 — подынтегральная функция;

 — подынтегральное выражение;

 — переменная интегрирования.

Таким образом, если  — первообразная функции и С — произвольная постоянная, то по определению неопределенного интеграла:

. (155)

Здесь  — некоторая первообразная функция для функции , С — произвольная постоянная.

Для проверки правильности равенства (155) необходимо проверить справедливость равенства:

. (156)

Например, пусть дано равенство:

. (157)

Требуется проверить справедливость равенства (157).

Находим: . Подынтегральная функция заданного интеграла равна x², а не 3x².

Вывод: равенство (157) является неверным, т.е. не является совокупностью всех первообразных функции Заметим, что Отсюда следует, что .

Процесс отыскания первообразной заданной функции называют интегрированием неопределенного интеграла.

Задача интегрирования неопределенного интеграла («взять интеграл») заключается в следующем: по заданной функции требуется найти такую функцию , чтобы .

В учебнике [1] (теорема существования неопределенного интеграла) доказывается, что, если функция непрерывна, то первообразная функций всегда существует.

Естественно, теорема существования неопределенного интеграла не указывает пути отыскания первообразных, она лишь констатирует факт его существования. Поэтому отыскание первообразных заданных функций требует определенных навыков и умений.

Принцип отыскания неопределенных интегралов очень схож с известным принципом решения множества других задач: вначале решаются простейшие задачи, находятся их решения, а решение более сложных задач стараются перевести в известные простейшие. Заметим, так мы поступали при решении степенных, логарифмических, показательных и тригонометрических уравнений.

Так мы поступим и сейчас: мы вначале найдем первообразные от простейших функций (имеется в виду, что первообразные этих функций почти очевидны), а затем перейдем к отысканию первообразных более сложных функций.

Предварительно изучим основные свойства неопределенных интегралов.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

   .

   Действительно, пусть  — первообразная . Тогда:

   .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

   .

   Действительно:

   .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

   .

   Действительно,

   

4. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

   ,

   где .

   Заметим, что равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до произвольно постоянной величины.

   Действительно, если , то

   

   где и  — произвольных постоянные.

   Из равенства следует, что:

   , ,

   где , т.е. функции отличаются на произвольную константу. Поэтому достаточно доказать равенство дифференциалов (или производных) от каждой части равенства:

   ;

   .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций, т.е.:

   .

   Действительно,

   ;

   

Пусть существует неопределенный интеграл , который по определению равен некоторой функции плюс произвольная постоянная С, т.е. .

Геометрически графиком функции будет семейство линий, полученных из графика функции смещением вдоль оси Оу на величину С. Придавая С произвольные значения, получим семейство интегральных линий.

Заметим, что в каждой точке этих линий , т.е. угловой коэффициент касательной в точке линии равен значению функции .

В частности, представляет семейство линий (кубических парабол), изображенных на рис. 4.1.

Из определения неопределенного интеграла следует, что достаточно взять производную произвольно взятой функции, чтобы найти ее первообразную.

Например, . Отсюда:

.

Найдем производную функции :

.

Следовательно,

.

Этим мы воспользуемся при составлении таблицы простейших неопределенных интегралов. В частности, найдем производную дроби :

.

Отсюда:

,

или

. (158)

Заметим, что равенство дифференциалов двух функций, так же как и равенство производных, означает, что эти функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Следовательно,

(159)

Найдем:

.

(160)

Отсюда, в частности:

(161)

Далее:

.

. (162)

Аналогично получим:

, (163)

, (164)

. (165)

Рассмотрим интеграл:

(166)

По аналогии находим:

(167)

В дальнейшем для краткости записи формул функцию мы будем обозначать через .

Рассмотрим интеграл:

(168)

Воспользуемся равенством (168) и формулами приведения тригонометрических функций при нахождении следующего интеграла:

(169)

Найдем интеграл, подынтегральная функция которого равна обратной величине разности квадратов переменной интегрирования и постоянной величины:

(170)

Интегралы от следующих функций найдены на основе таблицы производных:

т.к.

(171)

,т.к.

(172)

Рассмотрим интеграл:

. (173)

В справедливости равенства можно убедиться непосредственной проверкой, то есть дифференцированием:

Проверку справедливости нижеприведенных равенств предоставляем читателю:

(174)

. (175)

Интегралы от функций , находятся с помощью особых способов, которые будут приведены в следующих пунктах настоящего занятия.

Таким образом, нами получена следующая основная простейшая таблица неопределенных интегралов, куда включены и ряд свойств неопределенных интегралов. Переменная интегрирования преднамеренно нами обозначена через . Это обозначение предусматривает следующую цель: под можно понимать любое выражение.

Например, по таблице интегралов, .

Это означает, что .

Таблица интегралов