Успешно изучив материал, Вы будете знать:

• понятие системы счисления;

• общий вид числа в системе с заданным базисом;

• способы записи чисел в разных системах счисления;

• системы счисления, используемые в информатике;

• способы перевода из одной системы счисления в другую;

• системы счисления, используемые в компьютере.

После изучения данной темы Вы будете уметь:

• записать число в разных системах счисления;

• переводить двоичный код числа в 8- и 16-ричный и наоборот;

• использовать двоичную систему для решения прикладных задач.

После изучения материала Вы будете обладать навыками перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Разряд

Число

Базис системы счисления

Двоичный код

Натуральные числа — целые положительные числа и (иногда) число ноль.

Множество натуральных чисел — бесконечно, т.е. для любого, сколь угодно большого числа N существует натуральное число N + 1.

Как можно записать такое количество чисел? Первые десять натуральных чисел мы записываем с помощью специальных знаков 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Однако продолжать так дальше неудобно — потребовалось запомнить слишком много знаков. Поэтому применяют наборы знаков для записи. Системы записи чисел (системы счисления) делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах знак соответствует определенной величине, независимо от места в строке. Каноническим примером непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I обозначает 1,

V — 5,

X — 10,

L — 50,

C — 100,

D — 500,

M — 1000.

Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числеНа самом деле римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из нее, например: IV = 4, в то время как: VI = 6.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счетом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман.

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым целым числом b > 1 (т.н. основание системы счисления), таким, что b единиц в каждом разряде объединяется в одну единицу следующего по старшинству разряда. Система счисления с основанием b также называется b-ричной.

Число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации степеней числа b:

где a_k  — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

k — порядковый номер разряда начиная с нулевого;

n — число разрядов;

b — базис системы счисления.

Каждая степень b^k в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k. Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_n-1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: x = a_n-1  a_n-1 … a₀ .

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребимыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

• 10 — десятичная система счисления (принятая повсеместно);

• 16 — шестнадцатеричная (наиболее часто используется в программировании, а также в шрифтах);

• 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты.

Базисом двоичной системы является двойка. Для записи любого числа достаточно два знака: 0 и 1. Двоичная арифметика очень проста:

Как видно из таблицы, самая сложная операция — сложение. В нее входит умножение и сложение по модулю 2 (т.е. сложение с отбрасывание единиц старших разрядов)

Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере. Для выполнения сложения однобитовых чисел делают обычно даже специальный логический элемент с двумя входами x, y и двумя выходами w, v, как бы составленный из элемента умножения (его часто называют конъюнкцией, чтобы не путать с умножением многозначных чисел) и элемента сложения по модулю 2. Этот элемент часто называют полусумматором, и о нем будет идти речь в следующей теме.

Двоичная система используется в компьютерах, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями («есть ток» — «нет тока», «намагничен» — «не намагничен» и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Несмотря на удобство счета в двоичной системе, записанные числа занимают много места. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, 3-я и 4-я степень двух).

Таблица перевода для 8-ричного числа:

Для 16-ричных чисел нужно 16 знаков, поэтому используют десятичные обозначения для первых 10-ти знаков, а вместо остальных пишут буквы A, B, C, D, E, F.