Комментарий. При решении логарифмических уравнений, так же, как в случаях иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям ее задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.

Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:

1) преобразование потенцирования («отбрасывания» логарифмов, замена уравнения уравнением );

2) использование «справа — налево» формул:

• 

• 

• 

• 

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части.

Заметим, что применение этих формул «слева — направо» вообще следует избегать, т.к. это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней.

Решим уравнение:

Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:

Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:

Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом, x = 41 — единственный корень данного уравнения.

Ответ: 41.

Решим уравнение:

Представим 1 как lg10 и преобразуем левую и правую части уравнения, исходя из свойств логарифмов:

Потенцируя уравнение, получаем:

Решим это рациональное уравнение:

Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: т.е. область определения Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения

Ответ: 1,5; 10.

Решим уравнение:

Пусть тогда получаем систему уравнений:

Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равносильно совокупности:

т.е.

Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 > 0, т.е. х > -1.

Ответ: 

Комментарий. Если в уравнении содержаться логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:

1)

2)

Решим уравнение:

В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:

Последнее уравнение равносильно системе:

Корни первого уравнения системы: Таким образом, имеем совокупность уравнений которая равносильна системе:

Откуда очевидно, что  — единственный корень данного уравнения.

Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому, следует анализировать в ходе решения, как возможность, появления посторонних корней, так и возможность потери корней.

Ответ: 0,5.

Решим уравнение:

Прежде всего, воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, получаем:

Далее имеем:

Корни второго уравнения системы: Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности:

Решим первое уравнение совокупности:

Аналогично, решая второе уравнение совокупности, получаем х = 4.

Найдем, теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней: т.е.

Ясно, что оба найденных значения х удовлетворяют области определения.

Наконец, следует проанализировать возможную потерю корней. Для этого выясним, когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения. После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: x > 0 и x ≠ 1. Дополнительное условие x ≠ 1 не имеет отношения к исходному уравнению, поэтому х = 1 — возможный потерянный корень. Подставив значение х = 1 в исходное уравнение, убеждаемся, что это действительно корень. Таким образом, корни исходного уравнения:

Ответ: 

Комментарий. Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию, не являющемуся выражением с переменной, а равному некоторому числу. Как правило, это позволяет избежать потери корней. Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять, проанализировав данное уравнение.

Так в рассмотренном выше примере, подходящим новым основанием логарифмов является число 2. Это следует из того, что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: где α — целое число.

Далее, с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера 6 как схему равносильных переходов.

Еще раз следует отметить, что решение любого уравнения должно осуществляться не механически, а сознательно, с пониманием сущности всех преобразований, с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней. Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения, то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов. Хотя это и приводит, порой, к весьма громоздким записям. Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще», а «равносильность на области определения». Оформим решение уравнения из примера 6 с учетом этого приема.

Область определения этого уравнения (множество М):

Далее имеем:

Оформим также в виде равносильных переходов решения уравнений из следующих примеров. Эти уравнения (весьма распространенные в заданиях ЕГЭ, группа С), содержащие логарифмы, у которых и основания, и логарифмируемые выражения — выражения с переменной.

Решим уравнение:

Область определения этого уравнения (множество М):

т.е.

Далее, имеем:

Ответ: 2.

а) Решим уравнение:



б) Решим уравнение:

Ответ: а) Ø; б) 1.

Рассмотрим далее несколько примеров решения логарифмических неравенств.

Решим неравенство:

Таким образом, решение данного неравенства:

Ответ: 

Решим неравенство:

Таким образом, решение исходного неравенства:

Ответ: 

Решим неравенство:

Таким образом, решение исходного неравенства:

Ответ: 

И, наконец, рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с параметром.

Решим уравнение:

Так же, как и в предыдущем примере, будем строго соблюдать требования равносильности преобразований. Тогда имеем:

Найдем х из уравнения Имеем: Т.е., условие существования корней этого квадратного уравнения: или

Вид корней:

Условие существования корней исходного логарифмического уравнения задаются, таким образом, следующей системой неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x = 1, если a = 3, имеет два корня вида если и не имеет корней, если

Ответ: Если a = 3, то единственный корень x = 1, если  — два корня вида если  — нет корней.

Решим уравнение:

Прежде всего выясним условие существования корней уравнения. Имеем систему:

Далее перейдем к одному и тому же основанию логарифмов и решим уравнение:

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень вида если и не имеет корней, если

Ответ: если , то единственный корень , если  — корней нет.

Комментарий. Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида откуда следует, что Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.

Решить уравнение:

Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:

Ответ: 

Решить уравнение:

Поменяем порядок слагаемых:

Ответ: 

Решить уравнение:

Преобразуем левую часть: и разделим обе части на 16:

Ответ: 2.

Решить уравнение:

Запишем уравнение в виде: и сделаем замену: .

Тогда  — посторонний корень.

Обратная замена: .

Ответ: 1.

Решить уравнение:

Если записать левую часть так: то можно заметить, что основания степеней (числа 4, 10, 25) образуют геометрическую прогрессию. В этом случае можно разделить обе части равенства, например, на (поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю) и получить уравнение или Замена приводит к уравнению  — посторонний корень.

Следовательно,

Ответ: 

Решить уравнение: .

Разложим левую часть на множители:

Первый множитель никогда не равен нулю, поэтому ответом будут корни уравнений:

Случай 1: 2х - 6 = 0, х = 3.

Случай 2: 

Ответ: 

Решить уравнение:

Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:

Случай 1:  Тогда

Случай 2:  При этом  — тождество, следовательно, любое значение x < -2 является решением уравнения.

Ответ: 

Решить уравнение:

При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х - 5 ≠ 0, то есть х ≠ 5.

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Комментарий. Решение показательных неравенств сводится к решению простейших неравенств:

Важно помнить при этом, что при a > 1 можно перейти к неравенству, связывающему показатели степеней, знак которого совпадает со знаком исходного неравенства; при 0 < a < 1 показатели будут связаны неравенством противоположного знака.

Решить неравенство:

Представим обе части неравенства как степени с основанием 2:

Ответ: 

Решить неравенство:

После замены решим систему неравенств:

Поскольку знаменатель дроби в правой части второго неравенства при t > 0 положителен, можно умножить на него обе части неравенства, превратив его в квадратное:

Сделаем обратную замену: (левая часть неравенства верна при любом х).

Ответ: 

Решить неравенство:

Перейдем к основанию 3:

Ответ: 

Решить неравенство:

Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители:

.

Найдем корни левой части неравенства.

Случай 1: .

Случай 2: .

Решим неравенство методом интервалов:

Итак, 0 < x < 2.

Ответ: (0; 2).

Решить неравенство:

Запишем неравенство в виде: и разделим обе его части на (при делении на положительное число знак неравенства не изменится):

Сделаем обратную замену: .

Поскольку основание степени меньше 1, при переходе к показателям знак неравенства меняется: -1 < x < 0.

Ответ: (- 1; 0).

Решить неравенство:

Замена превращает неравенство в иррациональное:

Ответ: 

Комментарий. В логарифмических уравнениях, в отличие от показательных, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. Их появление связано с дополнительными ограничениями на знак логарифмируемых выражений и оснований логарифмов.

Логарифмическое уравнение можно привести к одному или нескольким простейшим следующих видов.

1. . При этом f (x) принимает только положительные значения, поэтому посторонние корни не появляются (если не было ограничений ранее).

2. Такое уравнение можно свести к системе:

Решить уравнение:

Определим ОДЗ: и перейдем во втором логарифме к основанию 4:

x₁ = -5, x₂ = 3 (оба входят в ОДЗ).

Ответ: - 5; 3.

Решить уравнение:

ОДЗ:

Представим Тогда уравнение можно записать так:

x₁ = 1 — не входит в ОДЗ, x₂ = 5 — входит в ОДЗ.

Ответ: 5.

Решить уравнение:

ОДЗ:

Перейдем в обоих логарифмах к основанию 10:

 — не входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

Решить уравнение:

ОДЗ:

Обратите внимание на то, что логарифмируемое выражение представляет собой полный квадрат, поэтому оно положительно при всех х, кроме х = 3. Условие на подкоренное выражение задается в виде строгого неравенства, так как знаменатель не должен равняться нулю.

При выполнении этих условий уравнение можно записать так:

 — не входит в ОДЗ.

Ответ: -5.

Решить уравнение:

ОДЗ: x > 1 (при этом и , то есть положительными являются аргументы внешних логарифмов).

Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:

Ответ: 27.

Комментарий. В логарифмических уравнениях часто полезно применять замену переменной.

Решить уравнение:

ОДЗ:

Пусть тогда:

Сделаем обратную замену.

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Решить уравнение:

ОДЗ:

Представим и введем новые переменные: для которых имеем уравнение:

Приравняем к нулю каждый множитель.

Случай 1: 

Случай 2:  — не входит в ОДЗ.

Ответ: 8.

Комментарий. Нередко в уравнение входят одновременно логарифмические и показательные функции. Рассмотрим такие комбинированные задания.

Решить уравнение:

ОДЗ:

Представим: Тогда уравнение примет вид:

Сделаем замену: и решим уравнение для t:

 — посторонний корень.

Обратная замена: .

Ответ: 1.

Решить уравнение:

ОДЗ: x > 0.

При выполнении этого условия обе части равенства положительны, поэтому их можно логарифмировать. Прологарифмируем левую и правую части по основанию 10:

Замена t = lg x приводит к уравнению

Случай 1: lg x = 1, x = 10.

Случай 2: 

Ответ: 

Решить уравнение:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части по основанию 9:

x²  - 3х - 10 = 0, x₁ = 5, x₂ = -2 — не входит в ОДЗ.

Ответ: 5.

Комментарий. При решении показательно-логарифмических систем применяются как обычные методы решения систем (подстановка, замена переменных), так и приемы решения соответствующих уравнений. Если в системе присутствуют логарифмы, не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных. Если получившиеся неравенства трудны для решения (например, неравенства с двумя переменными), можно ограничиться подстановкой в них найденных решений.

Решить систему уравнений:

ОДЗ: x > 0, y > 0.

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

Находим соответствующие значения у: y₁ = 4 - 1 = 3, y₂ = 4 - 3 = 1. Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

Решить систему уравнений:

ОДЗ: x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1.

Пусть , тогда и из первого уравнения получаем:

Случай 1:  следовательно, у = х³ . Подставим во второе уравнение: x⁴ = 81, с учетом ОДЗ х = 3, у = 3³ = 27.

Случай 2: 

Ответ: (3; 27), (27; 3).

Решить систему уравнений:

Сделаем замену: и получим систему:

Получено однородное уравнение. Разделим обе части на  — постороннее решение, так это отношение может быть только положительным.

Итак, Подставим этот результат в первое уравнение системы для u и v:

Единственный положительный корень этого уравнения — . Тогда и после обратной замены получаем: следовательно,

Ответ: 

Решить систему уравнений:

ОДЗ: x > 0, y > 0.

Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:

Разделим левую и правую части первого уравнения на соответствующие части второго:

.

Второе решение отрицательно, и является посторонним, так как х и у одного знака, следовательно, их отношение положительно.

Получена подстановка: х = 4у. Тогда из второго уравнения последней системы 4у³ = 1,

у = 1, х = 4.

Ответ: (4; 1).

Решить систему уравнений:

ОДЗ: x > 0, y > 0.

При выполнении этих условий прологарифмируем обе части каждого уравнения по основанию 2:

Представим и сделаем замену: Для новых неизвестных решим систему:

Заметим, что корни квадратного уравнения для и легко можно найти по теореме Виета.

Обратная замена:

случай 1: ;

случай 2: 

Ответ: (2; 3), (3; 2).

Комментарий. Простейшее логарифмическое неравенство сводится к одной из двух систем неравенств.

Случай 1:  если a > 1.

Случай 2:  если 0 < a < 1.

Решить неравенство:

Используя свойства логарифмов, преобразуем левую часть: и решим систему неравенств:

Обращаем ваше внимание на то, что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение, а не только их произведение.

Ответ: (1; 3).

Решить неравенство:

Поскольку решаем неравенство Оно равносильно системе:

Заметим, что первое неравенство можно не решать, так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства. Тогда:

Ответ: 

Комментарий. Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие, так и большие 1, нужно рассмотреть эти ситуации отдельно, так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам, а во втором — меняется на обратный.

Решить неравенство:

Запишем неравенство в виде:

(учитываем, что x > 0, поэтому ).

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Решить неравенство:

Пусть тогда и для t получаем неравенство: Не забудьте, что в дробно-рациональном неравенстве важен знак не только числителя, но и знаменателя дроби, и решать его лучше всего методом интервалов (самая распространенная ошибка на этом этапе решения — «отбрасывание» знаменателя). Корни числителя: и 2, корень знаменателя — 0, и знак дроби распределяется на интервалах так:

Следовательно, или 0 < t ≤ 2 (корень знаменателя, разумеется, в ответ не входит).

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Решить неравенство:

Сделаем замену: и решим для t иррациональное неравенство .

Случай 1:  — решений нет.

Случай 2: 

Обратная замена:

Ответ: 

Решить неравенство:

Определим ОДЗ: и перейдем в обоих логарифмах к основанию 2:

Найдем корни числителя и знаменателя.

Случай 1:

Случай 2:

 — не входит в ОДЗ.

(само это значение тоже не входит в ОДЗ, но слева и справа от него определены все функции, присутствующие в неравенстве, и один из множителей знаменателя в этой точке меняет знак).

Итак, в рамках ОДЗ дробь меняет знак трижды: в точках и Расставим знаки на интервалах. При (точка, расположенная на самом правом интервале) х - 3 = 0,75 < 1, 23 - 6x = 0,5 < 1, -6x² + 41x - 69 = 0,375 < 1, поэтому все три логарифма, входящие в последнюю форму неравенства, отрицательны; соответственно, отрицательна и сама дробь.

Ответ: 

Решить неравенство:

Превратим простейшее неравенство в систему:

и перейдем к любому постоянному основанию (например, 2):

Решим второе и третье неравенства методом интервалов.

Случай 1: 

Решение второго неравенства:

Случай 2:  корень знаменателя (х = 0) тот же, что в предыдущем неравенстве.

Решение:

Окончательным решением будет пересечение полученных промежутков:

Ответ: 

Решить неравенство:

ОДЗ:

Преобразуем первый логарифм:

Тогда:

Решим полученное неравенство методом интервалов.

Случай 1:

 — не входит в ОДЗ.

Случай 2:

 — точка, лежащая внутри ОДЗ.

Расставим знаки (при х = 10, то есть на самом правом из полученных промежутков, числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, то есть вся дробь отрицательна).

Ответ: .

Решить неравенство:

Найдем ОДЗ:

.

Перейдем к основанию 3:

(учитываем, что ).

Применим метод интервалов.

Случай 1: 

Случай 2: 

Отметим, что из всех изолированных точек, не входящих в ОДЗ, только х = -1 не является корнем числителя или знаменателя; соответственно в этой точке знак дроби не меняется.

Расставим знаки, учитывая, что на самом правом интервале все логарифмы, входящие в левую часть неравенства, положительны:

Ответ: (- 7; - 6) U [ - 3; - 2) U (0; 2].

Комментарий. При решении подобных неравенств применяются те же приемы, что и при решении уравнений аналогичного типа (замены, логарифмирование, потенцирование). Как всегда, внимательно следите за ограничениями на ОДЗ.

Решить неравенство: .

Представим , сделаем замену и решим для t систему неравенств с учетом ОДЗ:

Обратная замена:

Ответ: 

Решить неравенство:

Если прологарифмировать обе части неравенства по любому основанию, большему 1, знак неравенства не изменится (учитываем, что в области допустимых значений обе части положительны). Логарифмируем по основанию 10:

Ответ: 

Решить неравенство:

Вновь перед нами в левой части выражение вида Наиболее удобный прием для упрощения — логарифмирование. Прологарифмируем обе части по основанию 4 и составим систему неравенств с учетом ОДЗ:

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Случай 1:  — не входит в ОДЗ.

Случай 2:  — точка лежит внутри ОДЗ, знак дроби в ней меняется.

При достаточно больших значениях х аргумент логарифма, стоящего в числителе, меньше 1, то есть числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен. С учетом этого расставим знаки на интервалах:

Таким образом, 4 < x < 5 или х ≥ 8.

Ответ: (4; 5) U [8; +∞).

Решить неравенство:

Задаем ОДЗ и логарифмируем обе части по основанию 3:

Заметим, что . Тогда:

Последнее неравенство решаем методом интервалов.

Случай 1:  — сама эта точка в ОДЗ не входит, но знак первого множителя в ней меняется.

Случай 2: 

Расставим знаки на интервалах (при x > 11 левая часть положительна):

Ответ: (5; 6) U [8; +∞).

Решить неравенство:

Воспользуемся одним из свойств логарифмов:

Неравенство сразу резко упрощается:

и, с учетом ОДЗ, 0 < x ≤ 27.

Ответ: (0; 27].

Решить неравенство:

Упростим второй множитель левой части:

Этот результат позволяет сделать замену и решать неравенство: -t(t + 1) ≤ -2, t(t + 1) ≥ 2, t² + t - 2 ≥ 0, t ≤ -2 или t ≥ 1. Сделаем обратную замену.

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Решить неравенство:

Замена:

Решим неравенство для t: или

Обратная замена.

Случай 1:

Случай 2:

Ответ: 

Решить неравенство:

Учтем ОДЗ: x > 0, x ≠ 1 и прологарифмируем обе части по основанию 2:

Замена: или

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: (1; 4] U [8; +∞).

Решить неравенство:

ОДЗ: x > 0, x ≠ 6 (подмодульное выражение не должно равняться нулю). Прологарифмируем обе части по основанию 2: и решим полученное неравенство методом интервалов.

Случай 1: x²  - 18х + 56 = 0, x₁ = 4, x₂ = 14.

Случай 2: 

Расставим знаки на интервалах, учитывая, что при x > 14 левая часть неравенства положительна, а при х = 6 ни один из множителей не меняет знак:

Ответ: (0; 3) U (4; 6) U (6; 12) U (14; +∞).