Комментарий. Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том, что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка. Это — далеко не всегда.

При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:

1) в процессе решения применялись алгебраические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (например, сокращение дробей);

2) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (речь идет о применении тригонометрических формул, левая и правая части которых имеют различные области определения, например:

;

3) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Каждая из указанных причин может привести к появлению посторонних корней. Заметим, что применение формул из п. 2 «справа налево», напротив, может привести к потере корней, в силу сужения области определения.

Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но и тот, и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому в данном разделе вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения.

Решить уравнение: .

Обе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:

.

Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:

.

В итоге , т.е. и .

Однако можно заметить, что значения также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина?! В основе преобразований формулы, сужающие область определения: .

(в нашем случае и ).

Комментарий. Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.

Решить уравнение:

Перераспределим компоненты уравнения:

Далее, в левой части воспользуемся формулой:

Имеем: т.е.

Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:

Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:

Вновь воспользуемся формулой разности синусов:

Последнее уравнение равносильно совокупности:

Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: и , если и бесконечно много корней: если

Ответ: Если , то

Если , то .

Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.

Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.

Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.

Решить уравнение.

Пусть тогда . Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:

Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения, как сумма степеней тройки, всегда положительна, то условие существования корней уравнения:

Решим это неравенство. Если n > 0, то Очевидно, что полученная система несовместна. Если n ≥ 0, то

Система равносильна неравенству n ≥ 0.

Таким образом, учитывая, что , получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, … . Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:

Тогда имеем:

Таким образом, Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно — тригонометрического) уравнения.

Ответ: 

Решить уравнение:

Прежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:

т.е. системой

Пусть, теперь . Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: это уравнение преобразуется в уравнение: Далее, если положить, что то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень — y = 1. Значит, т.е.

Отсюда b = a, т.е. Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.

Ответ: 

Решить уравнение:

Заметим, что решения всякого уравнения, следует начинать с пристального, внимательного взгляда, призванного увидеть в уравнении, неравенстве и т.п. что-нибудь интересное, особенное, какую-нибудь «изюминку», позволяющую применить при решении некий нестандартный прием. Эта «изюминка» не всегда есть, но проглядеть ее обидно. В данном уравнении маленькая «изюминка» есть: если в правой части уравнения мы воспользуемся (к сожалению часто забытым абитуриентами) свойством логарифма: то сразу, как говорится, «убьем двух зайцев»: и избавимся от радикала, и перейдем к одному основанию логарифма.

Итак, если r = 2, то Далее, имеем тригонометрическое уравнение Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго:

Необходимо провести проверку найденных корней. Для этого выпишем условия, задающие область определения исходного уравнения:

Ясно, что первое из найденных семейств — семейство посторонних корней, т.к. нарушено условие , а из второго семейства посторонними корнями являются корни вида: (т.к., в этом случае, хотя но ).

Таким образом, корни исходного комбинированного уравнения:

.

Ответ: .

Решить уравнение:

Внесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показателя степени: и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения:

«Отбрасывая» логарифмы, получаем: и далее, учитывая, что и переходя к разности дробей в левой части уравнения:

Это квадратное уравнение относительно ctgx, корни которого 1 и -5. Т.е. имеем совокупность:

Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго: Здесь применено тождество:

Далее необходимо провести проверку корней. В качестве способа проверки в данном случае, изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение. При этом ясно, что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству. Этого достаточно. Удобнее всего, взять значения n = 0 и х = -1. Но можно поступить еще проще: в равносильности совокупностей

,

мы не сомневаемся, а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений ctg x.

В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов.

Пусть и n = 0, т.е. Тогда имеем:

Таким образом, семейство: входит во множество корней исходного уравнения.

Пусть теперь ctg x = -5 (здесь реализуем второй подход, ибо осуществлять непосредственную подстановку x = -arcctg 5 неудобно). Тогда, поскольку и . Далее, т.к. ctgx < 0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае

После подстановки в исходное уравнение имеем:

Таким образом, семейство также входит во множество корней исходного уравнения.

Ответ: .

Решить уравнение: .

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

Ответ: .

Решить уравнение:

На первом этапе решения уравнения выясним область допустимых значений и выполним тождественные преобразования:

Решением уравнения является:

.

Ответ: .

Комментарий. Данный прием решения тригонометрического уравнения принято называть методом разложения на множители.

Решить уравнение: .

Используем в процессе решения формулы понижения степени, получим:

После приведения подобных слагаемых получаем уравнение, сводящееся к квадратному уравнению.

Данное уравнение приводится к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть sin 2x = y, тогда:

или

Ответ: 

Комментарий. Решение большого количества тригонометрических уравнений сводится к решению квадратных уравнений.

Решить уравнение: .

или

Ответ: 

Комментарий. Данный пример иллюстрирует возможность решения тригонометрических уравнений методом преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Решить уравнение:

Во-первых, найдем область определения функции, выходящей в данной тригонометрическое уравнение:

Таким образом, областью определения данного уравнения является:

Во-вторых, решим данное уравнение. Для этого выполним следующие тождественные преобразования:

Ответ: .

Комментарий. Решение тригонометрических уравнений в ряде случаев проводится преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

Решить тригонометрическое уравнение: .

Используем в процессе решения формулы понижения степени:

Выполнив замену переменных, получим:

или

Ответ: .

Комментарий. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

Решить уравнение:

.

Используем далее основное тригонометрическое тождество:

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит .

Разделим обе части на , получим:

Ответ: .

Комментарий. Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений как однородных уравнений. Однородное уравнение — это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:

,

где  — действительные числа, n — показатель однородности.

Решить уравнение:

Т.к. , следовательно, корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим:

.

Т.к. и , то существует такой угол φ, что , а , тогда получим:

Ответ: 

Комментарий. Рассмотренный прием решения тригонометрических уравнений называется методом введения вспомогательного аргумента.

Данный метод основан на следующем. Рассмотрим уравнение особого вида:

.

Случай 1. Если с = 0, то уравнение однородное.

Случай 2. Если с ≠ 0 и (то есть хотя бы одно из чисел a или b не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим:

.

Т.к. и , то существует такой угол φ, что , тогда:

а) если , т.е. , то корней нет;

б) если , т.е. , тогда:

Решить уравнение:

Проверим выполнение неравенства: .

Очевидно, что , следовательно, корней уравнение не имеет.

Ответ: .

Решить уравнение:

Выполним преобразование уравнения, используя формулы «универсальная тригонометрическая подстановка»:

Получаем, что:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда:

.

0 + 4 (-1) = 5 — не верно, значит, , не является корнями исходного уравнения.

Ответ: 

Комментарий. Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Решить уравнение:

.

Пусть .

Далее возведем записанное равенство в квадрат и воспользуемся формулой «квадрат суммы»:

Получаем, что:

Разделим на cos x ≠ 0, получим:

Т.к. , при , то корней нет.

Ответ: 

Решить уравнение: 2cos 2x - 4sin x + 1 = 0.

Используем формулу: и сделаем замену  — посторонний корень (учитываем, что ).

Выполним обратную замену: .

Ответ: 

Решить уравнение: .

Применим следствие из основного тождества и сделаем замену t = tg x:

Найдем подбором корень t = -1 и разложим на множители левую часть полученного уравнения: (t + 1)(4t² - t + 5) = 0. Дискриминант второго множителя отрицателен, следовательно, других корней уравнение не имеет. Обратная замена:

Ответ: 

Комментарий. Приведенные приемы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании основного тождества и формул для косинуса двойного угла.

Решить уравнение:

Поскольку , a , уравнение можно записать в виде: . Перед нами так называемое однородное уравнение, для всех слагаемых левой части которого сумма степеней sin 3x и cos 3x одинакова.

Проверкой можно убедиться, что cos 3x ≠ 0 для корней этого уравнения, поэтому можно разделить обе его части на . Сделаем замену: t = tg 3x, тогда . Обратная замена:

Ответ: 

Решить уравнение: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.

Разделим обе части уравнения на 13:

Пусть тогда , и уравнение принимает вид: или откуда

Ответ: 

Решить уравнение: sin 4x + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.

Преобразуем в произведение сумму синусов и сумму косинусов:

.

Теперь запишем левую часть уравнения в виде:

Это равенство возможно в двух случаях.

Случай 1: 

Случай 2: 

Применим формулу приведения:

.

Тогда:

Это уравнение вновь сводится к двум простейшим:

Ответ: .

Решить уравнение:

Применим к левой части метод дополнительного угла:

Выберем дополнительный угол так, чтобы получить в левой части формулу для косинуса разности:

Случай 1: .

Случай 2: 

Ответ: 

Комментарий. Решение примера основано на формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Решить уравнение: cos 9x + sin 4x sin 5x = 0.

Преобразуем произведение синусов в сумму:

Тогда

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Решить уравнение: sin 6x + 3sin 4x cos 2x = 0.

Преобразуем произведение в сумму:

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: и сделаем замену: t = sin 2x. Решим уравнение для t:

Обратная замена приводит к трем простейшим уравнениям.

Случай 1: 

Случай 2: 

Случай 3: 

Объединяя две последние группы корней, получим окончательный ответ.

Ответ: 

Комментарий. Рассмотренный пример иллюстрирует использование преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Решить уравнение: sin 2x - 5 + 5sin x - 5cos x = 0.

Сделаем замену: t = sin x - cos x, тогда . Следовательно, sin 2x = 1 - t² .

Подставим эти выражения в уравнение:

1 - t²  - 5 + 5t = 0, t²  - 5t + 4 = 0, t₁ = 1, t₂ = 4.

Очевидно, что разность синуса и косинуса не может равняться четырем, поскольку эти функции не принимают значений, модуль которых превышает 1; поэтому второй корень квадратного уравнения — посторонний. Для t = 1 сделаем обратную замену: sin x - cos x = 1. Применим метод дополнительного угла:

Ответ: 

Решить уравнение: .

Поскольку , представим .

Кроме того, . Эти преобразования позволяют сделать замену:

t = sin 4x и получить для t уравнение:

 — посторонний корень.

Сделаем обратную замену:

Ответ: 

Комментарий. Данный пример предполагает использование тождеств:

Комментарий. Решение следующих четырех примеров основано на формулах понижения степени. Напомним, что четные степени синуса и косинуса можно понизить переходом к двойному углу с помощью следующих формул:

Решить уравнение:

Понизим степени тригонометрических функций, входящих в уравнение:

Ответ: 

Решить уравнение:

При понижении степени первого слагаемого оно выразится через cos 8x, поэтому у второго слагаемого мы не будем понижать степень, а вместо этого применим к нему основное тождество:

Ответ: 

Решить уравнение:

Преобразуем разность четвертых степеней: cos 4x = sin x и применим формулу приведения:

Ответ: 

Решить уравнение:

Выразим через : .

Ответ: 

Решить уравнение:

Понизим степень в левой части уравнения, а в правой преобразуем произведение в сумму:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ: 

Решить уравнение: 20tg 8x + 15sin 8x + 2tg 4x = 0.

Используем универсальную подстановку:

Случай 1: 

Случай 2:  — постороннее решение.

Тогда

Ответ: 

Решить уравнение:

Обратим внимание на то, что левую часть уравнения с помощью одной из формул универсальной подстановки можно представить как:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ: 

Комментарий. Уравнения, содержащие комбинации удобно решать, переходя к синусам и косинусам.

Решить уравнение: 8sin 2x + 3 (tg x + ctg x) - 16 = 0.

Преобразуем сумму тангенса и котангенса:

Теперь можно сделать замену:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ: 

Решить уравнение:

Вновь выразим левую часть равенства через функции двойного угла:

Теперь уравнение принимает вид:

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответ: 

Комментарий. При решении тригонометрических уравнений (группа С) используются те же приемы, что и при решении алгебраических иррациональных уравнений. Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения неизвестного (самая распространенная ошибка в задачах этого типа — включение в ответ посторонних корней).

Решить уравнение:

ОДЗ задается неравенством: Возведем обе части в квадрат:

Замена приводит к уравнению:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ: 

Решить уравнение:

Обратим внимание на то, что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: , следовательно,

Сделаем замену: t = sin 3x + cos 3x, тогда | t | = 3 - 2t.

Случай 1: 

Случай 2:  — посторонний корень (не соответствует условию раскрытия модуля).

Итак,

.

Ответ: .

Решить уравнение:

Ограничение на ОДЗ: то есть . Учитывая это условие, приравняем каждый множитель к нулю.

Случай 1: 

 — посторонний корень.

Следовательно, Этим условиям удовлетворяют углы вида (вторая группа решений тригонометрического уравнения определяет углы, лежащие в четвертой четверти, тангенс которых равен ).

Случай 2: 

Ответ: 

Комментарий. Для решения тригонометрических уравнений с модулями применяются те же приемы, что и для алгебраических уравнений с модулями.

Решить уравнение: sin 3x + | sin x | = 0.

Во-первых,

1) sin x = 0, x = πn;

2)

Во-вторых, .

1) sin x = 0 — не соответствует условию раскрытия модуля;

2)

Ответ: 

Решить уравнение: | sin 12x | + | sin 18x | = 0.

Сумма модулей может равняться нулю только в том случае, если при одном и том же значении х оба подмодульных выражения равны нулю. Следовательно, нужно найти общие корни двух уравнений:

Принципиально важно то, что в решениях указаны разные целочисленные параметры. Для общих корней должно выполняться равенство откуда

Поскольку n — целое число, дробь должна быть сократимой, а это возможно только если k кратно трем, то есть . Тогда решение уравнения можно записать так:

Ответ: 

Комментарий. Рассмотрим далее тригонометрические уравнения с конечным числом корней. Эти уравнения очень необычны, и конечное число решений связано с тем, что аргумент тригонометрической функции принимает значения из некоторого конечного промежутка.

Решить уравнение:

Найдем множество значений функции Очевидно, что Исследуем ее на экстремум.

при х = 0 — найдена критическая точка.

Слева от нее справа то есть это точка максимума. Так как он является единственным экстремумом, то при х = 0 функция принимает свое наибольшее значение: f (0) = 5.

Следовательно,

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: Из предыдущего исследования получаем, что равенство возможно только при условии откуда

Действительно, это единственное целочисленное решение такого неравенства. Тогда

Ответ: .

Комментарий. В следующем примере рассмотрим комбинированные задачи, в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений. Важно помнить, что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром, который может принимать любое возможное значение независимо от ранее введенных параметров.

Решить систему уравнений:

Применим метод алгебраического сложения: перейдем к системе, уравнениями которой будут сумма и разность исходных уравнений.

.

Вновь сложим и вычтем полученные уравнения:

Ответ: 

Решить систему уравнений: .

Используем подстановку из второго уравнения: .

Применим формулу приведения:

Ответ: .

Решить систему уравнений:

Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу

Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения , то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:

Случай 2: 

Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:

Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).

Ответ: 

Комментарий. Решением тригонометрического неравенства обычно является набор промежутков, границы которых можно задать общей формулой с использованием целочисленного параметра. Для определения границ очень удобно применять тригонометрическую окружность.

Решить неравенство: .

Решим сначала простейшее тригонометрическое неравенство где

Прямая делит тригонометрическую окружность на две дуги. Решениям неравенства соответствуют точки на нижней дуге, ординаты которых не больше . Поэтому в пределах от до решение имеет вид: .

Границы следующего промежутка решений можно получить отсюда, изменив каждую границу на 2πn:

.

Сделав обратную замену, получим двойное неравенство для х:

Ответ: 

Решить неравенство: | tg x | ≥ 1.

Наименьший положительный период тангенса равен π, поэтому достаточно найти решение неравенства на интервале , а затем прибавить к границам πn. Раскрыв модуль, превратим неравенство в совокупность двух неравенств: .

Дуги окружности, соответствующие их решениям, имеют вид:

.

Обращаем внимание на то, что точки не входят в решение, поскольку при этих значениях аргумента тангенс не существует. Учитывая периодичность, находим окончательное решение:

Ответ: 

Комментарий. В более сложных неравенствах для их сведения к простейшим применяются в основном те же приемы, что и при решении уравнений.

Решить неравенство:

Представим cos 2x = 1 - 2sin² x и сделаем замену: t = sin x. Тогда для t требуется решить систему неравенств:

Обратная замена приводит к уравнению sin x = -1, откуда и неравенству решение которого:

Ответ: 

Решить неравенство:

Используем то, что и сделаем замену: t = sin 2x. Неравенство для t имеет вид:

Методом интервалов находим решение:

Проводим обратную замену и решаем полученные тригонометрические неравенства:

Случай 1: 

Случай 2: 

Ответом будет объединение полученных промежутков.

Ответ: 

Решить неравенство:

Преобразуем обе части неравенства.

Случай 1: .

Случай 2: 

Сделаем замену:

Следовательно, | tg 2x | ≥ 1, откуда:

Ответ: 

Решить неравенство:

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

или . Еще раз возведем обе части в квадрат:

Получено простейшее тригонометрическое неравенство, решение которого:

Ответ: