Комментарий. Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.

Действия с дробями:

Перестановка членов пропорции:

Дана пропорция , справедливы следующие пропорции:

Формулы сокращенного умножения:

где x1 и x2 — корни уравнения

Формулы корней квадратного уравнения:

Формулы корней приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:

Если задано квадратное уравнение в общем виде , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где ,

Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

Свойства числовых неравенств

	пусть c > 0, тогда
и
	пусть a > 0 b > 0, тогда

Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.

Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:

равны друг другу при любых значениях a и b. При этом одно выражение преобразуется в другое, ему тождественно равное.

При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

1) величина допустимых изменений буквенных величин;

2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:

Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:

Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь на разность a - 1 и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.

Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

Порядок выполнения действий:

1) действия с одночленами;

2) действия в скобках;

3) умножение или деление (в порядке появления);

4) сложение или вычитание (в порядке появления).

Обыкновенная дробь — число вида ; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби равны, если a ∙ d = b ∙ c. Основное свойство дробей: , где c — любое отличное от нуля действительное число.

В пропорции  a и d — крайние члены, b и c — средние члены.

Основное свойство пропорции: a ∙ d = b ∙ c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).

Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:

При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x < 0 нужно писать так:

Аналогично равенство верно лишь в случае, если a ≥ b. При a < b оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .

Упростите выражение .

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .

Сократив дробь вычислите ее значение, если .

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этой дроби. Данное тождественное преобразование можно сделать разными способами.

Способ 1

Попробуем выполнить группировку в числителе, записав его следующим образом:

3m²  - 3mn + mn - n² = 3m(m - n) + n(m - n) = (3m + n)(m - n).

Способ 2

Составим и решим уравнение 3m²  — 2mn — n² = 0 как квадратное уравнение относительно m, считая n параметром.

Получаем, что:

Тогда

Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:

6m²  - 7mn + n² = (6m - n)(m - n).

Следовательно, есть возможность сокращения дроби на множитель (m - n), т.е.:

.

Из условия следует, что (воспользовались свойством пропорции). Значит, .

Ответ: .

Комментарий. При тождественных преобразованиях иррациональных выражений в ряде случаев удобно выполнить замену переменных таким образом, чтобы для новых переменных получить рациональное выражение (другими словами, исключить иррациональность). При этом лучше просматриваются возможности для применения формул сокращенного умножения и другие способы упрощения рассматриваемого выражения.

Сократите дробь: .

Так как дробь содержит выражения целесообразно выполнить замену переменных следующим образом:

Тогда, воспользовавшись формулой «разность квадратов» и сократив дробь, получаем:

Следует отметить, что другие варианты замены переменных, например, или не приводят к получение рационального выражения.

Ответ: .

Комментарий. В выражениях, содержащих двойную иррациональность (корень из иррационального выражения) бывает полезным представление подкоренного выражения в виде полного квадрата (выделение полного квадрата). При этом используется формулы «квадрат суммы» или «квадрат разности». Подбор первого и второго слагаемого следует выполнять, ориентируясь на предполагаемое удвоенное произведение первого слагаемого на второе.

Найдите значение выражения:

Этап 1

Преобразуем знаменатель:

8 = 5 + 3, 15 = 5 ∙ 3,

поэтому , то есть .

Следуя несколько иной логике, можно рассмотреть число в качестве возможного удвоенного произведения первого слагаемого на второе. Далее, используя свойство квадратного арифметического корня, представим его в виде произведения . Таким образом, получаем, что:

,

т.к. .

Этап 2

Раскроем скобки в числителе дроби:

.

Учитывая, что 150 = 25 ∙ 6, 90 = 9 ∙ 10, получаем следующее:

.

Далее приведем подобные слагаемые (первое и последнее, второе и третье), и, помня, что наша цель — разложить знаменатель дроби на множители для ее сокращения, вынесем за скобку множитель :

Тогда:

Заметим, что подкоренное выражение в знаменателе можно было записать и как , но а поэтому .

Ответ: .

Укажите все номера целых чисел данного множества:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Упростим запись каждого из данных чисел.

1. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, получаем . Далее, выполним умножение показателей степеней для возведения степени в степень, . Так как целыми числами называются натуральные числа, им противоположенные и ноль, получаем, что число под номером 1 — целое.

2. Преобразуем выражение , используя выделение полного квадрата из выражения под знаком корня.

   Видно, что число следует представить в виде произведения множителей 2, 3 и . Можно проверить, что другие способы разложения числа на множители не приводят к выделению полного квадрата (например, 2, , 1).

   Таким образом, получаем, что .

   Следовательно:

   

   Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой «разность квадратов»:

    — целое число.

3. Для преобразования выражения сначала исключим иррациональность из знаменателя первого слагаемого, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к знаменателю:

   

   Следовательно,  — не является целым числом.

4. Выполним переход к одинаковому основанию 2 и запишем кубический корень в виде степени:

   

   Далее для деления степеней с одинаковым основанием, вычислим разность показателей:

   

   Выделим целую часть дроби, полученной в показателе , и запишем результат тождественных преобразований в виде произведения:

   

   Таким образом, выражение под номером четыре — не целое число.

5. Представим основание в виде степени числа 4, тогда:

   

   Используя правило возведения степени в степень, следует записать  — целое число.

Ответ: 1, 2, 5.

В экзаменах традиционной формы задачи на упрощение встречаются редко, но подобные навыки могут пригодиться и при решении заданий, сформулированных иначе.

Найдите наименьшее значение выражения:

5x² + 2y²  - 4xy - 4x - 8y + 19.

Представим формулу, задающую функцию, в виде выражения, в которое входят суммы полных квадратов:

5x² + 2y²  - 4xy - 4x - 8y + 19 = (4х²  - 4ху + у² ) + (х²  - 4х + 4) + (у²  - 8у + 16) - 1 = (2х - у)² + (х - 2)² + (у - 4)²  - 1.

Вспомним, что наименьшее значение квадрата любого выражения равно нулю. Следовательно, наименьшее значение каждого из первых трех слагаемых равно нулю, причем все они обращаются в 0 при х = 2 и у = 4. Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке (2; 4).

Ответ: -1.

Вычислить: .

Указанные действия следует выполнять, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.

Будем выполнять вычисления по действиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Таким образом:

Ответ: -20,275.

Упростите выражение: при , a ≠ b и ab > 0.

Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:

,

Поскольку a – b ≠ 0, то (a – b)² > 0; ab > 0 по условию.

Следовательно, дробь положительна, т.е. x – 1 > 0, а, значит, и x + 1 > 0.

Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

Подставляя значение , получим:

По условию ab > 0, значит, , поэтому

Рассмотрим оба возможных случая:

1) если a² > b² , другими словами, , то и ;

2) если a² < b² , другими словами , то и .

Ответ.

Если a² > b² , т.е. если , то и .

Если a² < b² , т.е. если , то и .

Сократите дробь:

.

С целью сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя x₁ = 1; x₂ = 4, поэтому имеем:

x² – 5x + 4 = (x – 1) ∙ (x – 4).

Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:

x³ – x – 4x² + 4 = (x³ – x) – (4x² – 4) = x (x² – 1) – 4 (x² – 1) = (x² – 1) (x – 4) = (x – 1) (x + 1) (x – 4).

Тогда при x ≠ 1, x ≠ -1, x ≠ 4 будем иметь:

Ответ: .

Пользуясь теоремой Виета, вычислить , где x₁ и x₂  — корни уравнения 2x² + 6x + 1 = 0.

Преобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Выполним тождественные преобразования:

.

Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 6x + 1 больше нуля.

Действительно, D = 6² – 4 ∙ 2 ∙ 1 = 36 – 8 = 28 > 0. Следовательно, у уравнения 2x² + 6x + 1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.

Таким образом, , и . Поэтому, имеем:

.

Ответ: -45.