Освоив материал данной темы, вы сможете понять основные принципы принятия решений (оценки стратегий) в условиях неопределенности. Анализируя практические ситуации, вы сможете:

• выделять множество вариантов решений (стратегий) для лица, принимающего решение;

• строить множество возможных исходов и вычислять вероятности этих исходов;

• производить оценку результатов (обычно в денежной форме) при различных вариантах принятых решений и исходов.

Хотя ситуации принятия решений существенно отличаются друг от друга, тем не менее они имеют три общие составляющие:

1) множество вариантов решений (стратегий) для лица, принимающего решение;

2) множество возможных исходов и вероятностей этих исходов;

3) оценка результатов (обычно в денежной форме) при различных вариантах принятых решений и исходов.

В том случае, если эти составляющие описаны корректно, лицо, принимающее решение, может рассчитывать найти оптимальную стратегию с точки зрения некоторого критерия.

Пример

Некая компания, специализирующаяся на программных разработках, планирует принять участие в тендере на получение некоторого госзаказа на разработку информационной системы. Тендер проводится закрытым способом, то есть предложения подаются участниками в запечатанных конвертах и неизвестны другим участникам. По оценкам компании, участие в тендере обойдется в 5000 млн руб., а выполнение заказа в 95 000 млн руб. Из опыта предыдущих тендеров известно, что с вероятностью 30% конкуренции вообще не будет. Кроме того, известно, что цена подобного тендера имеет следующие условные вероятности (табл. 23).

Необходимо принять решение, участвовать ли в тендере, и если да, то с какой ценой. Необходимо выбрать решение, которое максимизирует ожидаемую прибыль.

Решение

Рассмотрим на примере данной задачи те три составляющие для ситуации принятия решений в условиях неопределенности, которые упоминались выше.

1. Компания должна принять решение, участвовать в тендере или нет. Если она все же принимает решение участвовать, то возникает вопрос, с какой ценой. Ясно, что минимальные затраты в этом случае составят 5000 + 95 000 = 100 000. Отсюда следует, что цена менее 100 000 лишена смысла (отсутствие прибыли). К сожалению, отсутствие полной вероятностной информации о возможных ценах аукциона приводит к тому, что мы имеем возможность рассмотреть лишь стратегии участия с ценами 115 000, 120 000 и 125 000.

2. Далее нам необходимо описать исходы и их вероятности. Поскольку компания точно знает расходы на участие в тендере (5000) и стоимость выполнения работы (95 000), то вся неопределенность заключается в стратегиях, которые изберут конкуренты. Мы предполагаем, что поведение других игроков подчиняется тем же закономерностям, что и раньше, поэтому мы используем вероятностные данные по ценам предыдущих тендеров.

3. Теперь необходимо количественно оценить (вычислить стоимостную оценку) ситуации для компании при различных выборах стратегии и различных вариантах разрешения неопределенности в поведении других участников. Если компания принимает решение не участвовать в тендере, то нет ни затрат, ни прибыли, то есть оценка ситуации равна 0. Если компания участвует в тендере и не проходит по цене, то она теряет 5000. Если компания участвует в тендере с ценой В и проходит по цене, то ее ожидаемая прибыль составит В — 100 000, где, как отмечалось ранее, 100 000 = 95 000 + 5000.

Оценки ситуации иногда удобно записать в виде платежной матрицы, где строки соответствуют стратегиям, которые выбирает сторона, принимающая решение, а столбцы соответствуют стратегиям конкурентов. Элементы данной матрицы отражают стоимостную оценку ситуаций при различных сочетаниях стратегий участников тендера (табл. 24).

Наиболее универсальным подходом для выбора оптимальной стратегии является подход, при котором выбирается стратегия, обеспечивающая максимальную ожидаемую оценку. Оценку стратегии часто обозначают EMV (expected monetary value) и вычисляют как:

.

Смысл данной оценки состоит в вычислении математического ожидания выигрыша первого игрока (компании-участницы) при применении им стратегии i. Опираясь на данные платежной матрицы, вычислим оценки для всех стратегий первого игрока (табл. 25).

Необходимо отметить, что значение EMV не есть значение реальных выигрышей, а есть среднеожидаемое значение выигрышей при различных стратегиях других участников. Таким образом, наиболее эффективной представляется стратегия участия в аукционе с ценой 115 000, так как именно этой стратегии соответствует максимальное значение EMV (12 200).

Дерево решений представляет собой некий графический инструмент, который помогает производить действия, рассмотренные в вышеизложенном примере, а именно:

1) описание возможных стратегий игрока, принимающего решение;

2) описание неопределенных исходов (неизвестные стратегии второй стороны) и их вероятностей;

3) вычисление EMV по стратегиям первого игрока;

4) выбор стратегии с максимальным значением EMV.

Как правило, использование этого графического средства предполагает использование следующих соглашений.

Деревья решений состоят из вершин (круги, квадраты и треугольники) и ветвей (линии).

Вершины соответствуют определенным моментам времени. Вершины-решения (квадраты) соответствуют моментам времени, когда ЛПР (лицо, принимающее решение) принимает решение. Вершины-вероятности (круги) соответствуют моментам времени, когда разрешается одна из неопределенностей. Оконечные вершины (треугольники) соответствуют окончанию задачи, когда все решения приняты, все неопределенности разрешились и все платежи произошли.

Развитие ситуации во времени происходит согласно данной графической схемы слева направо.

Ветви, идущие из вершин-решений, соответствуют различным возможным решениям. Ветви, идущие из вершин-вероятностей, соответствуют различным возможным вариантам разрешения неопределенности и не являются объектом чьего-либо управления.

Вероятности соответствуют ветвям, исходящим из вершин-вероятностей. Эти вероятности являются условными вероятностями при условии свершения события, соответствующего вершине, из которой они исходят. Поэтому сумма вероятностей по все ветвям, исходящим из одной вершины, равна 1.

Каждой оконечной вершине соответствуют два числовых значения. Первое — это вероятность прихода в данную оконечную вершину (произведение вероятностей вдоль пути) и второе — значение выигрыша, соответствующее данному сценарию развития событий (сумма платежей вдоль пути).

На рис. 86 изображено дерево решений, соответствующее вышерассмотренной задаче о проведении тендера.

Процедура принятия оптимального решения после построения дерева решений производится методом обратного хода и заключается в следующем.

1. Для каждой вероятностной вершины (круги) вычислим среднеожидаемое значение выигрыша по всем альтернативам, исходящим из данной вершины. Например:

   0,8 (15 000) + 0,2 (-5000) = 11 000.

   Далее для другой вершины:

   0,3 (15 000) + 0,7 (11 000) = 12 200.

2. Каждой вершине-решению мы приписываем максимальное значение из ожидаемых значений выигрыша, соответствующих различным вариантам решения, исходящим из данной вершины. То решение, на котором достигается максимум, помечается пометкой «истина», иначе помечаем решение как «ложь». После данной процедуры расстановки пометок на вершинах-решениях оптимальная стратегия определяется путем следования слева направо по вершинам, помеченным как «истина».

Рассмотренный нами пример относится к так называемым одношаговым играм, в которых на первом шаге принимаются все решения, а далее разрешаются все неопределенности. В более сложных случаях принятие решений чередуется с разрешением некоторых неопределенностей, причем решения, принятые на очередном шаге, порождают свое множество неопределенностей (неопределенных факторов), которые далее разрешаются. Такие ситуации принятия решений называются многошаговыми (позиционными) играми. Пример подобной ситуации рассматривается ниже.

Пример

Некоторая компания решает вопрос о представлении некоторого нового продукта на общенациональный рынок. Неопределенность заключается в том, как отреагирует рынок на этот новый продукт. Рассматривается вопрос об апробации нового продукта первоначально на некотором региональном рынке. Таким образом, первоначальное решение, которое необходимо принять компании, — это проводить ли первоначальный маркетинг продукта на региональном уровне. Компания предполагает, что выход на региональный уровень потребует затрат на 3 млн руб., а выход на общенациональный рынок потребует вложения 90 млн руб. Если не проводить первоначальных пробных продаж на региональном уровне, то решение о выходе на общенациональный рынок можно принять незамедлительно.

Компания рассматривает результаты продаж как успешные, средние или отрицательные в зависимости от объемов продаж. Для регионального уровня этим градациям соответствуют объемы в 200, 100 и 30 тыс. экземпляров, а для общенационального — 6000, 3000 и 900 тыс. экземпляров соответственно. Исходя из данных по результатам региональных тестирований аналогичных видов продукции компания оценивает вероятности вышеуказанных трех исходов как 0,3, 0,6 и 0,1. Кроме того, исследуя данные о соотношении результатов региональных продаж с последующими продажами на общенациональном рынке, компания сумела оценить следующие условные вероятности (табл. 26).

Кроме этого, известно, что каждая продажа приносит прибыль в 18 руб. как на региональном рынке, так и на общенациональном.

Задача состоит в принятии обоснованной стратегии выхода (или не выхода) на рынок с новой товарной позицией.

Решение

Как и в предыдущей задаче, рассмотрим три основные составляющие для ситуаций подобного типа:

1) возможные стратегии;

2) возможные исходы и их вероятности;

3) стоимостная модель.

Возможные стратегии. Компании сначала необходимо решить два вопроса:

1) тестировать ли продукт на региональном рынке;

2) представлять ли продукт на национальном рынке.

Если компания решит вопрос 1 положительно, она может обосновать решение вопроса 2, основываясь на результатах решения вопроса 1. В таком случае ее конечная стратегия — ситуационный план (рис. 87).

Учитывая случайный характер исходов, отметим данные в примере вероятности:

1) вероятности исходов тестирования рынка;

2) условные вероятности исходов национального рынка, задаваемые результатами тестирования рынка.

Эти вероятности необходимы для построения дерева решений. Исход события А будет известен до наступления события В.

Однако допустимо и другое решение: компания не проводит тестирование и сразу выдвигает продукт на национальный рынок. В таком случае новые вероятности исходов вычисляются с помощью имеющихся вероятностей по правилам условной вероятности. Обозначим результаты тестирования рынка T1, T2 и Т3, N — любой из результатов выхода на национальный рынок, далее по правилу сложения вероятностей и формуле условной вероятности:

(закон полной вероятности)

Вычислим вероятности для случая, если тестирования рынка не будет.

Р(N₁ ) = (0,8)(0,3) + (0,3)(0,6) + (0,05)(0,1) = 0,425;

Р(N₂ ) = (0,15)(0,3) + (0,5)(0,6) + (0,25)(0,1) = 0,37;

Р(N₃ ) = (0,05)(0,3) + (0,2)(0,6) + (0,7)(0,1) = 0,205.

Таким образом, вероятности результатов выхода на национальный рынок без проведения тестирования следующие (табл. 27).

Стоимостные оценки отражены в дереве решений. Дерево содержит фиксированные расходы на тестирование рынка и национальный рынок. Расходы последуют при принятии соответствующих решений. Мы исследуем объемы продаж и умножаем их на выручку за единицу продукции для получения данных о доходах (табл. 28).

Далее построим дерево решений для данной задачи (рис. 88), приведя подробно все сопутствующие вычисления.

(0,8)(0,3) + (0,3)(0,6) + (0,05)(0,1) = 0,425;

(0,15)(0,3) + (0,5)(0,6) + (0,25)(0,1) = 0,37;

(0,05)(0,3) + (0,2)(0,6) + (0,7)(0,1) = 0,205;

6000 • 18 = 108 000.

3000 • 18 = 54 000;

900 • 18 = 16 200;

108 000 — 90 000 = 18 000;

54 000 — 90 000 = -72 000;

16 200 — 90 000 = -73 800;

0,425 • 108 000 + 0,37 • 54 000 + 0,205 • 16 200 — 90 000 = -20 799;

200 • 18 = 3600;

100 • 18 = 1800;

30 • 18 = 540;

0,8 • 108 000 + 0,15 • 54 000 + 0,05 • 16 200 — 90 000 + 3600 — 3000 = 5910;

3600 — 3000 = 600;

108 000 — 90 000 + 3600 — 3000 = 18 600;

54 000 — 90 000 + 3600 — 3000 = -35 400;

16 200 — 90 000 + 3600 — 3000 = -73 200;

0,8 • 0,3 = 0,24;

0,15 • 0,3 = 0,045;

0,05 • 0,3 = 0,015;

0,3 • 108 000 + 0,5 • 54 000 + 0,2 • 16 200 — 90 000 + 1800 — 3000 = -28 560;

1800 — 3000 = -1200;

108 000 — 90 000 + 1800 — 3000 = 16 800;

54 000 — 90 000 + 1800 — 3000 = -37 200;

16 200 — 90 000 + 1800 — 3000 = -75 000;

0,05 • 108 000 + 0,25 • 54 000 + 0,7 • 16 200 — 90 000 + 540 — 3000 = -62 220;

540 — 3000 = -2460;

108 000 — 90 000 + 540 — 3000 = 15 540;

54 000 — 90 000 + 540 — 3000 = -38 460;

16 200 — 90 000 + 540 — 3000 = -76 260.

Таким образом, анализируя дерево решений, можно сформулировать оптимальную стратегию компании, а именно: следует произвести предварительную продажу на региональном рынке и развернуть продажи на общенациональном уровне, только если результаты на региональном уровне оказались успешными.

Существует специальное программное средство, разработанное компанией «Palisade Corporation» (США) — Precision Tree, которое является расширением программы Excel. Это средство позволяет строить не только деревья решений, но и диаграммы влияния, отображающие взаимосвязи между различными частями задачи, а также диаграммы рисков, и производить анализ чувствительности, оценивая значимость отдельных факторов задачи.

В данной теме мы рассмотрели количественные подходы к принятию решений в ситуациях, которые характеризуются неопределенностью в будущем. Мы описали технологическую процедуру такого подхода и продемонстрировали специальное программное средство, поддерживающее такую процедуру — Precision Tree.

Описанный выше подход к принятию решений с точки зрения EMV не является единственным. Он не учитывает, в частности, отношения к риску лица, принимающего решение (ЛПР). Понятие отношения к риску можно продемонстрировать на таком примере. Пусть предлагается сыграть в следующую игру. Бросается монета. Если «орел», то ничего не выигрывается и не проигрывается, а если «решка», то выигрыш составит 1000 руб. Легко вычислить EMV для данной игры:

EMV = 0,5 • 0 + 0,5 • 1000 = 500

Теперь представим себе, что предлагается некоторая альтернатива: либо играть в эту игру, либо получить сразу некоторую сумму и не играть. Ясно, что для каждого человека есть свой рубеж предлагаемой суммы, при котором он откажется от игры. Хотя теоретически этот рубеж должен равняться 500 руб. Это и показывает, что при принятии решения существует реальная индивидуальная составляющая — отношение к риску.

Порой данный подход может приводить даже к парадоксальным ситуациям. Рассмотрим некоторую новую игру. Бросается монета до тех пор, пока выпадает «орел». Как только выпала «решка» игра останавливается. Пусть «орел» выпал подряд N раз. Если сразу выпала «решка», то N = 0. По окончанию игры вы получаете 2^N коп. в качестве выигрыша. Вам предлагается альтернатива: либо играть в игру, либо сразу получить гарантированную сумму в 1 000 000 000 руб.

Трудно представить себе человека, который выберет игру, поскольку даже при крайне благоприятном стечении обстоятельств, например, выпадение орла 5 раз подряд (вероятность = 0,031), выигрыш составит 0,32 руб. Тем не менее, подсчитаем EMV игры:

Следовательно, если исходить из принципа EMV, то следует выбирать игру при любом предлагаемом гарантированном выигрыше.

Тем не менее, в большинстве случаев критерий EMV является вполне логически оправданным.

1. Albright S.C. Data Analysis and decision making with Microsoft Excel / Christian Albright, Wayne L. Winston, Christopher Zappe. — 1999.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. — М.: Высшая школа, 2000. — 479 с.

3. Лапо В.Ф. Теория вероятностей, математическая статистика и эконометрика / В.Ф. Лапо. — Красноярск,1999. — 329 с.

4. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов / Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В. — Ростов на Дону: Феникс, 1999.