3.7.2. Критерий Пирсона

 

Критерий Пирсона или критерий c² (хи - квадрат) имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретической и эмпирических кривых распределения. Наблюдаемое значение критерия  вычисляется по следующей формуле:

,                                                                                        (3.31)

где     - эмпирическая частота i-го интервала (варианта);

  - теоретическая частота i-го интервала (варианта);

    ℓ- число интервалов (вариантов).

         Как известно, c² - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле:

                                      ,                                                                                      (3.32)

 

где    r - число неизвестных параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

По теоретическим соображениям при расчете  не следует исходить из слишком малых значений . Поэтому рекомендуется объединять соседние интервалы (варианты) таким образом, чтобы > (510) для объединенных интервалов. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик (n ³ 50) и .

В случае нормального закона распределения расчет теоретической кривой распределения j(x) производится при условии, что статистические характеристики  приравниваем числовым характеристикам нормального закона (m; s), поэтому r = 2 и число степеней свободы         n = -3.

Вероятности попадания случайной величины X в соответствующие интервалы вычисляется по интегральной теореме Лапласа:

,                                             (3.33)

 

где    ;    .

В случае биномиального закона распределения расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что статистическая доля (частость) приравнивается вероятности p появления интересующего нас события А, поэтому r = 1 и число степеней свободы            n = -2.

Вероятность p_i  того, что случайная величина X принимает значение x_i = m, где , определяется по формуле Бернулли:

,                                 (3.34)

где     - средняя частость проявления появления события во всех k выборках;

n - число испытаний в каждой выборке.

В случае закона Пуассона расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что средняя интенсивность  приравнивается математическому ожиданию M(x), поэтому r = 1 и n = -2.

Вероятность p_i  того, что случайная величина X принимает значение x_i = m, определяется по формуле Пуассона:

,                                                           (3.35)

где     - средняя интенсивность.

m_i - частота появления значения х_i; i=1, 2, ... , к.

При проверке гипотез о виде законов распределения могут быть использованы и другие критерии согласия: Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.

 

Пример 3.5. По данным таблицы рассчитать теоретические частоты в предположении нормального закона распределения; результаты вычислений приводятся в следующей таблице.

 

Интервалы	3,65-3,75	3,75-3,85	3,85-3,95	3,95-4,05	4,05-4,15	4,15-4,25	4,25-4,35
	1	6	11	15	9	6	2
	2	5	11	14	11	5	2

 

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения.

 

Решение. Вычисляем наблюдаемое значение критерия   по формуле (3.31). Результаты вычислений представим в виде таблицы.

 

Интервалы
3,65-3,75   3,75-3,85			0	0
3,85-3,95	11	11	0	0
3,95-4,05	15	14	1
4,05-4,15	9	11	4
4,15-4,25   4,25-4,35			1
å	50	50	-	= 0,578

 

По таблице c² - распределения на уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы n = -3 = 5 - 3 = 2 определим = 5,991. Так как    = 0,578 < = 5,991, нулевая гипотеза H₀ не отвергается, т.е. производительность труда для данной совокупности подчиняется нормальному закону распределения.

 

Пример 3.6. Даны следующие числа рождения мальчиков у 50 матерей, родивших четыре раза:

 

 

Проверить на уровне 0,01 гипотезу о биноминальном законе распределения.

 

Решение. Всего 50 матерей родили N = k×n = 50×4 = 200 детей. Случайной величиной X является число мальчиков в семьях из 4 детей. Построим вариационный ряд:

 

xi	0	1	2	3	4	å
	4	10	18	16	2	50

 

Эмпирическими частотами  являются числа матерей, родивших определенное число мальчиков.

Рассчитаем среднюю частоту рождения мальчика:

.

 

По формуле (3.34) вычислим вероятности комбинаций рождения мальчика (и девочки) в семьях из 4 детей:

 

m = 0; ;

m = 1; ;

m = 2; ;

m = 3; ;

m = 4; .

Итого: .

Теоретические частоты равны  = k×p_i. Рассчитаем наблюдаемое значение критерия .

 

xi
0   1			1
2	18	19	1
3   4			1
å	50	50	-	= 0,370

 

По таблице c² - распределения на уровне значимости a = 0,01 и при числе степеней свободы n = -2 = 3 - 2 = 1 определяем = 6,635.

        

Так как = 0,370 < = 6,635, нулевая гипотеза не отвергается, т.е. число мальчиков в семье из 4 детей данной совокупности подчиняется биноминальному закону распределения.

 

Пример 3.7. Число рабочих, не выполнивших сменного задания в 100 выборках по 20 рабочих, приводится в таблице:

 

Число рабочих xi	0	1	2	3	4
Число выборок mi	85	11	3	1	0

 

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о законе Пуассона.

 

Решение. Определяем среднюю интенсивность числа рабочих, не выполнивших сменного задания, на одну выборку:

 

         По таблице  определяем .

 

По формуле (3.35) вычисляем вероятности:

 

;

;

;

.

 

Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

 

xi
0	85	82	9
1	11	16	25
2   3			4
å	100	100	-	= 3,671

        

По таблице  c² - распределения на уровне значимости 0,05 и при числе степеней свободы n = l-2 = 3 - 2 = 1 определяем = 12,706.

Так как (= 3,671) < (= 12,706), нулевая гипотеза H₀  не отвергается, т.е. число рабочих, не выполнивших сменного задания, подчиняется закону Пуассона.

Таблица 3.1

 

Основные формулы, используемые при проверке гипотез  о значении параметров распределений

№ пп	H0	Условия проверки	Используемое распределение	Формулы для вычисления наблюдаемого значения параметров	H1	Порядок определения критического значения критериев	Правила проверки
1	2	3	4	5	6	7	8
		s2	Ф(t)		m1<m0; m1>m0	(1-2a)®tкр	отвергается
		известна			m1¹m0	(1-a)®tкр	с вероятностью ошибки a
1	m=m0	s2не	S(t)		m1<m0; m1>m0
		известна			m1¹m0
			Ф(t)		mx<my; mx>my	(1-2a)®tкр	не отвергается
2	mX=mY	известны			mx¹my	(1-a)®tкр
		не известны, но =	S(t)		mx<my; mx>my
					mx¹my
							не отвергается
3			c2				® H0 не отвергается   При или ® H0 отвергается
							не отвергается
4			F				не отвергается
5		n1 ¹ n2 ¹ ... ... ¹ ni > 4	c2				не отвергается
		n1 = n2 = ... ... =	G				не отвергается
6	p1 = p2 = ... = p	n ®¥	c2				не отвергается

Тест

 

1. Что называют ошибкой первого рода:

         а) Гипотеза H₀  верна и ее принимают согласно критерию;

         б) Гипотеза H₀  верна и ее отвергают согласно критерию;

         в) Гипотеза H₀  не верна и ее отвергают согласно критерию;

         г) Гипотеза H₀  не верна и ее принимают согласно критерию.

 

2. Что называют мощностью критерия:

         а) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в критическую область, если верна гипотеза H₀;

         б) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в критическую область, если верна гипотеза H₁;

         в) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H₀;

         г) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть             

в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H₁.

 

3. Когда при проверке гипотезы H₀ : m  = m₀ против H₁ : m  = m₁ следует выбрать правостороннюю критическую область:

         а) H₁ : m₁  < m₀;

         б) H₁ : m₁  > m₀;

         в) H₁ : m₁  ¹m₀;

         г) H₁ : m₁  = m₀.

 

4. Пусть статистика критерия  имеет нормальное распределение. Какое условие является исходным для расчета значения  границы правосторонней критической области:

         а) ; 

         б) ;

         в) ;

г) .

5. Какая статистика используется при проверке гипотезы :

         а) ; 

         б) ;

         в) ;

г) .

6. Для проверки какой гипотезы используется статистика :

         а) ;  

         б) ; 

         в) ;

         г) .

7. Чему равна граница критической области при проверке на уровне значимости a = 0,0344, гипотезы H₀ : m  = 50, если H₁: m  = 52, s =3:

         а) 2,15;

         б) 1,97;

         в) 1,82;

         г) 2,88.

 

8. Чему равна граница критической области при проверке на уровне значимости  a= 0,05, гипотезы H₀ : m  = 50, если H₁: m₁  = 52, S  = 3,    n =9:

         а) 1,78;

         б) 1,86;

         в) 2,15;

         г) 2,88.

 

9. Для проверки какой гипотезы применяется критерий Кохрана:

         а) ;

         б) ;

         в) ;

         г) .

 

10. Какому закону распределения должна подчиняться статистика , при справедливости гипотезы H₀:

         а) Нормальному;

         б) Фишера-Снедекора;

         в) Стьюдента;

         г) Пирсона.

 

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "3.7. Гипотезы о виде законов распределения генеральной
совокупности"

Вперед к разделу "4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ"