Тема 5. Потоки платежей

         

Оглавление

Тема 5. Потоки платежей. 1

5.2 Виды финансовых рент. 2

5.3 Формулы наращенной суммы.. 3

5.4 Формулы современной величины.. 5

5.5 Зависимость между современной величиной  и наращенной суммой ренты   6

5.6 Определение параметров финансовой ренты.. 7

5.7 Другие виды постоянных рент. 8

5.8 Анализ переменных потоков платежей. 10

 

 

 

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

5.2 Виды финансовых рент

 Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами)и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате,  например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве  вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

 

5.3 Формулы наращенной суммы

 Обычная годовая рента

         Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставкеi. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)^n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)^n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

,

в которой первый член равенR, знаменатель (1+i), число членов n. Эта сумма равна

,                        (1.1)

где

                                                      (1.2)

и называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.

 Годовая рента, начисление процентов m раз в году

Посмотрим как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

.

 Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)^m, а число членов  n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна

.                                             (1.3)

Рента p-срочная, m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. ЕслиR- годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

,

у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)^1/p, общее число членов np. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

,           (1.4)

где

                                                (1.5)

коэффициент наращения p-срочной ренты при m=1.

 Рента p-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов mсовпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

.

 Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.

Таким образом получаем

.                (1.6)

 Рента p-срочная, p³1, m³1

Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p³m.

 Первый член рентыR/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель  (1+j/m)^m/p, число членов nm.

В результате получаем наращенную сумму

.             (1.7)

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.

 5.4 Формулы современной величины

 Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

,

где

 - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv² и т.д. В итоге приведенные величины образуют  геометрическую прогрессию: Rv, Rv², Rv³, ..., Rvⁿ, сумма которой равна

,                          (1.8)

где

                                           (1.9)

 - коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим на компьютере.

 Рента p-срочная, p³1, m³1

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m

,                                        (1.10)

от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных  p и m.

 

 5.5 Зависимость между современной величиной  и наращенной суммой ренты

          Пусть A - современная величина годовой ренты постнумерандо, а S - ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму A за  nлет дает сумму, равную S:

           (1.11)

Отсюда же следует, что дисконтирование S даетA:

,                                                                          (1.12)

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

                                                      (1.13)

.                                                            (1.14)

5.6 Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты: R, n, i, p, m. Такие параметры как m и pобычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

 Определение размера ежегодной суммы платежа R

 В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета

                                                               (1.15)

или

.                                                             (1.16)

Определение срока постоянной ренты

 Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A

        и         

 относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения

        и          (1.17)

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при R>Ai.

 Определение ставки процентов

Для того, чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

      или    ,

которые эквивалентны двум другим

 или             (1.18)

 

5.7 Другие виды постоянных рент

 Вечная рента

         Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено, то есть она выплачивается бесконечное число лет (например, выплаты по бессрочным облигационным займам). В этом случае наращенная сумма с течением времени возрастает бесконечно. А вот современная величина имеет вполне определенное конечное значение.

Рассмотрим, например, бесконечную постоянную годовую ренту постнумерандо (p=1, m=1).

При n®lim  

         В общем случае, когда p³1, m³1

при n®lim .

         Если же p³1, m³1 и p=m, то

при n®lim .

 

Отложенная рента

Начало отложенной (или отсроченной) ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть подсчитана по тем формулам, которые нам уже известны. А ее современную величину можно определить в два этапа: сначала найти современную величину соответствующей немедленной ренты (эта сумма характеризует  ренту на момент начала ее срока), а затем с помощью дисконтирования этой величины по принятой ставке в течение срока задержки привести ее к моменту заключения договора.

Например, если современная величина годовой немедленной ренты равна A, то современная величина отложенной на t лет ренты составит

,

где  v^t         - дисконтный множитель за t лет,

.

 Рента пренумерандо

         Рассмотрим теперь ренту, когда платежи производятся в начале каждого периода, - ренту пренумерандо. Различие между рентой постнумерандо и рентой пренумерандо заключается лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше. В остальном структура потоков с одинаковыми параметрами одинакова. Поэтому наращенные суммы обоих видов рент (с одинаковой периодичностью платежей  и начисления процентов и размером выплат) тесно связаны между собой.

         Если обозначить через наращенную сумму ренты пренумерандо, а через S, как и раньше, наращенную сумму соответствующей ренты постнумерандо, то в самом общем случае получим   

.    

         Точно также для современной величины ренты пренумерандо и соответствующей ей ренты постнумерандо имеем следующее соотношение

.

 Рента с платежами в середине периодов

         Наращенная сумма (S_1/2)и современная стоимость (A_1/2) ренты с платежами в середине периодов и соответствующей ренты постнумерандо связаны так

     и   .

 

5.8 Анализ переменных потоков платежей

 

Нерегулярный поток платежей

         Временные интервалы между последовательными платежами в нерегулярном потоке могут быть любыми, не постоянными, любыми могут быть так же и члены потока. Обобщающие характеристики в этом случае получают только путем прямого счета:

наращенная сумма 

,

современная величина

,

где t- время от начала потока платежей до момента выплаты, R_t – сумма платежа.

Переменная рента с разовыми изменениями размеров платежа

Пусть общая продолжительность ренты n и этот срок разбит на k участков продолжительностью n₁, n₂, … , n_k, в каждом из которых член ренты постоянен и равен R_t, t=1, 2, …, k, но изменяется от участка к участку.

 Тогда наращенная сумма для годовой ренты постнумерандо (p=1, m=1) вычисляется по формуле

а современная величина как

.

Рента с постоянным абсолютным приростом платежей

 Пусть размер платежей изменяется с постоянным приростом a (положительным или отрицательным). Если рента годовая постнумерандо, то размеры последовательных платежей составят

.

Величина t-го члена равна .

Тогда современная стоимость такой ренты равна

,

а наращенная сумма

.

В случае p-срочной ренты с постоянным приростом платежей (m=1) последовательные выплаты равны

,

где a – прирост платежей за год,

R – первый платеж, то есть

,

где t – номер члена ряда, t=1, 2, … , np.

Современная величина

,

а наращенная  сумма

.

Ренты с постоянным относительным изменением платежей

 Если платежи годовой ренты изменяются с постоянным темпом роста q, то члены ренты будут представлять собой ряд: R, Rq, … , Rq^n-1. Величина t-го члена равна

.

Для того чтобы получить современную величину, дисконтируем эти величины:

. Мы получили геометрическую прогрессию.

Сумма этих величин равна

.

Наращенная сумма

.

Для p-срочной ренты (m=1):