2.3.3. Метод Жордана-Гаусса

 

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие  расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана-Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

.

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1.     перестановка двух строк;

2.     умножение строки на любое число, отличное от нуля;

1.     прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число;

2.     отбрасывание нулевой строки (столбца).

 

Пример 2.11. Решить методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений:

а)   Х₁ + Х₂ + 2Х₃ = -1

     2Х₁ -  Х₂ + 2Х₃ = -4

     4Х₁ + Х₂ + 4Х₃ = -2

Решение: Составим расширенную матрицу

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2)  и   (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

,

откуда Х₁ = 1,  Х₂ = 2,  Х₃ = -2.

Закончив решение, на этапе обучения, необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

 

б)  Х₁  -  Х₂ +   Х₃ -    Х₄ = 4

     Х₁ +  Х₂ + 2Х₃ +3Х₄ = 8

        2Х₁ +4Х₂ + 5Х₃+10Х₄ = 20

     2Х₁ - 4Х₂ +   Х₃ - 6Х₄ = 4

 

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

,

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х₁-3Х₂-5Х₄=0

2Х₂+Х₃+4Х₄=4

Последние две строки матрицы A⁽²⁾ являются линейно зависимыми.

 

Определение. Строки матрицы e₁, e₂,…,e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0=(0 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми, когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты  равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы, т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A⁽²⁾ равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1.     Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система имеет единственное решение.

2.     Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r<n, r переменных x₁,x₂,…,x_r называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r переменных называются свободными.

Определение. Решение системы, в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Совместная система m линейных уравнений с nпеременными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее  , где .

В нашем случае , т.е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х₁ =  3Х₂ +5Х₄

Х₃ = 4 - 2Х₂ - 4Х₄

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х₂ = 0, Х₄ = 0, тогда Х₁ =0, Х₃ = 4. Базисное решение имеет вид: (0,0,4,0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х₃ и Х₄. Выразим неизвестные Х₁ и Х₂ через неизвестные Х₃ и Х₄:

Х₁ = 6 - 3/2Х₂  - Х₄

Х₂ = 2 - 1/2Х₃  - 2Х₄

Тогда базисное решение имеет вид: (6,2,0,0).

Пример 2.12. Решить систему:

X₁+2X₂-X₃=7

2X₁-3X₂+X₃=3

4X₁+X₂-X₃=16

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=–1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

 

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №7

 

Решить системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (каждый вариант решает по три системы по следующему принципу: 1-й решает номера 1, 11 и 21; 2-й — 2, 12 и 22; 3-й — 3, 13 и 23; и т.д.; 10-й — номера 10, 20 и 30)

1.   2Х₁ + Х₂ + Х₃ = 2              2.  2Х₁ -   Х₂ + 3Х₃ = 3  

Х₁+3Х₂ + Х₃ = 5                               3Х₁ +  Х₂ -  5Х₃ = 0   

Х₁ +Х₂ +5Х₃ = -7                              4Х₁ -   Х₂ +  Х₃ = 3

2Х₁+3Х₂ - 3Х₃ = 14                           Х₁ + 3Х₂ -13Х₃ = -6

 

3.   Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 6                 4.  2Х₁ - Х₂ + Х₃ -  Х₄ = 1

Х₁ + Х₂ -  Х₃ -  Х₄ = 0                  2Х₁ - Х₂       - 3Х₄ = 2

Х₁ - Х₂  + Х₃ -  Х₄ = 4                  3Х₁        - Х₃ + Х₄ = -3

Х₁ - Х₂ -   Х₃ + Х₄ = 2                  2Х₁+2Х₂ -2Х₃+ 5Х₄ = -6

                                                                                     11Х₁ -Х₂  - Х₃+  Х₄ = -5

 

5.   Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 0                   6.  8Х₁ +5Х₂ -  3Х₃ + 4Х₄ = 12

Х₂ +  Х₃ +Х₄ +Х₅ = 0                          2Х₁ +2Х₂ -   Х₃  +  Х₄ = 4

Х₁ +2Х₂ +3Х₃ = 2                        4Х₁ +3Х₂ -  Х₃ + 2Х₄   = 6

Х₂ +  Х₃+3Х₄ = -2                        3Х₁ +3Х₂ -  2Х₃ + 2Х₄ =  6

Х₃+2Х₄ +Х₅ = 2

 

7.   Х₁ + Х₂ + 3Х₃ + 4Х₄ = -3     8.  3Х₁ + 8Х₂ + 9Х₃ +2Х₄ = 37

2Х₁+3Х₂ +11Х₃ + 5Х₄ = 2              2Х₁ + 5Х₂ + 4Х₃ +  Х₄ = 20

Х₁ + Х₂  +5Х₃ + 2Х₄ = 1                       Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ +  Х₄ = 11

2Х₁ + Х₂ +3Х₃ + 2Х₄  = -3             2Х₁+10Х₂ + 9Х₃  + 7Х₄ = 40

 

9.   6Х₁+9Х₂ + Х₃ + 5Х₄ = -8       10. 5Х₁ + 6Х₂ + 3Х₃ +2Х₄ =  3

3Х₁+4Х₂ + Х₃ + 2Х₄ = -3                         7Х₁ + 9Х₂ + 4Х₃ +2Х₄ =  2

3Х₁+5Х₂ +3Х₃ +5Х₄ = -6                         2Х₁ - 2Х₂ +   Х₃ +  Х₄ = 6

3Х₁+5Х₂ +3Х₃ +7Х₄ = -8                          2Х₁+ 3Х₂ +   Х₃  +  Х₄ = 0

 

11. Х₁ +5Х₂ -  9Х₃ + 8Х₄ = 1       12. 2Х₁ + 3Х₂ + 9Х₃ -7Х₄ =  3

5Х₁+18Х₂ + 4Х₃ + 5Х₄ = 12             8Х₁ +12Х₂ - 9Х₃ +8Х₄ = 3

2Х₁ +7Х₂  +3Х₃ + 4Х₄ = 5                4Х₁ + 6Х₂ + 3Х₃ - 2Х₄ = 3

1Х₁ +3Х₂ +5Х₃   - 2Х₄ = 3                 2Х₁+  3Х₂ -  Х₃  +  Х₄ = 1

 

13. 9Х₁ +4Х₂ + Х₃ + 7Х₄ = 2        14. 2Х₁ - 3Х₂ - 11Х₃ -15Х₄ = 1

2Х₁+ 7Х₂ + 3Х₃ + Х₄ = 6                           2Х₁ - 3Х₂ + 5Х₃ + 7Х₄ = 1

3Х₁ +5Х₂  +2Х₃ + 2Х₄ =4                          4Х₁ - 6Х₂ + 2Х₃ + 3Х₄ = 2

 

15. 9Х₁+12Х₂ + 3Х₃ +10Х₄ = 13       16. 9Х₁ - 6Х₂ + 3Х₃ + 2Х₄ = 4

3Х₁+  4Х₂ +  Х₃ + 2Х₄ =  3                    3Х₁ - 2Х₂ + 6Х₃ + 4Х₄ = 2

      6Х₁ + 8Х₂  +2Х₃ + 5Х₄ =  7            6Х₁ - 4Х₂ + 4Х₃ + 3Х₄ = 3

 

17. 2Х₁ - Х₂ + 3Х₃ - 7Х₄ = 5            18. 9Х₁ - 3Х₂ + 5Х₃ + 6Х₄ = 4

      6Х₁ -3Х₂ + 3Х₃ - 4Х₄ = 7                 3Х₁ -  Х₂ + 3Х₃+ 14Х₄ = -8

      4Х₁ -2Х₂+14Х₃ -31Х₄ = 18              6Х₁ - 2Х₂ + 3Х₃ -  4Х₄ = 5

 

19. 7Х₁ +Х₂ + 6Х₃ -  Х₄ = 7               20.  Х₁+ Х₂+3Х₃ -2Х₄ +3Х₅ = 1

      9Х₁+ Х₂ + 4Х₃ - 5Х₄ = 1                     2Х₁+2Х₂+8Х₃ -3Х₄ +9Х₅ = 2

      3Х₁ +2Х₂ +2Х₃ +2Х₄ = 2                    2Х₁+2Х₂+4Х₃ - Х₄ +3Х₅ = 2

      2Х₁ +3Х₂+12Х₃ + 5Х₄ = 3                  3Х₁+3Х₂+5Х₃ -2Х₄ +3Х₅ = 1

      2Х₁ +2Х₂+ 3Х₃ + 4Х₄ = 5

 

 21. 7Х₁ - 4Х₂ + Х₃ + 3Х₄ = 5           22.  3Х₁+3Х₂ + 5Х₃ -2Х₄+3Х₅ = 1

       3Х₁  - 5Х₂ +2Х₃ +4Х₄ = 2                 2Х₁+2Х₂ + 4Х₃ -Х₄ +3Х₅ = 2

       5Х₁ + 7Х₂ - 4Х₃ - 6Х₄ = 3                  Х₁ + Х₂ + 3Х₃ -2Х₄+5Х₅ = 1

                                                                  2Х₁+2Х₂ + 8Х₃ -3Х₄+9Х₅ = 2

 

23. Х₁ + 2Х₂ + 3Х₃  = 2                       24.   Х₁ + Х₂ - 3Х₃ = -1

      Х₁  +  Х₂ + 2Х₃  = 1                              2Х₁ + Х₂ - 2Х₃ = 1

    3Х₁ + 5Х₂ + 8Х₃  = 0                               Х₁ + Х₂ +  Х₃ = 3

    -Х₁ +  Х₂ + 4Х₃  = 2                                Х₁ +2Х₂  -3Х₃ = 1

 

25. 2Х₁ - Х₂ +  Х₃ -  3Х₄ = 4                26. Х₁+2Х₂ - 3Х₄+2Х₅ = 1

      3Х₁ - 2Х₂ +2Х₃ -  3Х₄ = 2                    Х₁-  Х₂ -  3Х₃ + Х₄ -3Х₅ = 2

      2Х₁ + Х₂ -  Х₃ +   Х₄ = 1                    2Х₁ -3Х₂ + 4Х₃ - 5Х₄+2Х₅ = 7

      5Х₁ + Х₂ -  Х₃ +  2Х₄ = 1                  5Х₁ -9Х₂ + 6Х₃-16Х₄+2Х₅ =25

 

27.  Х₁  +Х₂+3Х₃ - 2Х₄ +3Х₅ = 1            28.  Х₁+ Х₂ + Х₃  = 3

   3Х₁+3Х₂+5Х₃ - 2Х₄ +3Х₅ = 1                Х₁ +2Х₂ -3Х₃  = -1

   8Х₁+2Х₂+4Х₃ -   Х₄+ 3Х₅ = 2               2Х₁ +Х₂ -2Х₃   = 1

   2Х₁+2Х₂+8Х₃ - 4Х₄ +9Х₅ = 2                 Х₁+2Х₂  -Х_{3 5} = 1

 

29. 2Х₁+ Х₂  -  Х₃ +  Х₄ = 1                30. 4Х₁ - 3Х₂ + 2Х₃ -  Х₄ =  8

      5Х₁ + Х₂ -  Х₃ + 2Х₄ = -1                    3Х₁ - 2Х₂ +  Х₃ -  3Х₄ = 7

      3Х₁- 2Х₂ +2Х₃ -  3Х₄ = 2                    2Х₁ -  Х₂               - 5Х₄ = 6

      2Х₁-  Х₂ +  Х₃ - 3Х₄ = 4                      5Х₁ - 3Х₂ +   Х₃  - 9Х₄ = 1

 

Дополнительныезадачи

 

1.     Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырьё трёх типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на один день заданы таблицей:

 

 

Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви.

 

2.     С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй — 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу).

 

 

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

 

3.     Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определённый годовой процент (свой для каждого банка). В начале года 1/3 вклада размером 6000 ден. ед. вложили в банк 1, 1/2 вклада — в банк 2 и оставшуюся часть — в банк 3 и к концу года сумма этих вкладов возросла до 7500 ден. ед. Если бы первоначально 1/6 вклада положили в банк 1, 2/3 — в банк 2 и 1/6 — в банк 3, то к  концу года сумма вклада составила бы 7200 ден. ед.; если бы 1/2 вклада положили в банк 1, 1/6 — в банк 2 и 1/3 — в банк 3, то сумма вклада в конце года составила бы 1250 ден. ед. Какой процент выплачивает каждый банк?

 

К оглавлению

Назад к разделу "2.3.2. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА И МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ"

Вперед к разделу "2.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО"