ТЕМА 9. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

9.1. Магнитные цепи с постоянной магнитодвижущей силой

Изучив вопросы по теме 9.1., вы будете

Знать:

· закон полного тока для магнитной цепи;

· уравнения Кирхгофа для магнитной цепи;

· существо понятий «магнитно-мягкий» и «магнитно-твердый» материал.

Уметь:

· решать прямую и обратную задачи расчета магнитных цепей;

· определять магнитный поток, магнитодвижущую силу и потокосцепление;

· определять коэрцитивную силу, остаточную намагниченность и коэффициент прямоугольности по статическому циклу гистерезиса.

Акцентировать внимание на следующих понятиях:

· магнитная цепь;

· разветвленная и неразветвленная магнитная цепь;

· линейная и нелинейная магнитная цепь;

· закон полного тока для магнитной цепи;

· ток, сцепленный с контуром;

· магнитодвижущая сила;

· статический цикл гистерезиса;

· коэрцитивная сила;

· остаточная намагниченность;

· коэффициент прямоугольности.

9.1.1. Элементы магнитной цепи

Магнитной цепью (магнитопроводом) называется совокупность различных ферромагнитных и неферромагнитных частей электротехнических устройств для создания магнитных полей нужных конфигурации и интенсивности. В зависимости от принципа действия электротехнического устройства магнитное поле может возбуждаться либо постоянным магнитом, либо катушкой с током, расположенной в той или иной части магнитной цепи.

К простейшим магнитным цепям относится тороид из однородного ферромагнитного материала (рис. 9.1). Такие магнитопроводы применяются в многообмоточных трансформаторах, магнитных усилителях, в элементах ЭВМ и других электротехнических устройствах.

На рис. 9.2 показана более сложная магнитная цепь электромеханического устройства, подвижная часть которого втягивается в электромагнит при постоянном (или переменном) токе в катушке. Сила притяжения зависит от положения подвижной части магнитопровода.

На рис. 9.3 изображена магнитная цепь, в которой магнитное поле возбуждается постоянным магнитом. Если подвижная катушка, расположенная на ферромагнитном цилиндре, включена в цепь постоянного тока, то на нее действует вращающий момент. Поворот катушки с током практически не влияет на магнитное поле магнитной цепи. Такая магнитная цепь есть, например, в измерительных приборах магнитоэлектрической системы.

Рассмотренные магнитные цепи, как и другие возможные конструкции, можно разделить на неразветвленные магнитные цепи (рис. 9.1 и 9.3), в которых магнитный поток в любом сечении цепи одинаков, и разветвленные магнитные цепи (рис. 9.2), в которых магнитные потоки в различных сечениях цепи различны. В общем случае разветвленные магнитные цепи могут быть сложной конфигурации, например в электрических двигателях, генераторах и других устройствах.

В большинстве случаев магнитную цепь следует считать нелинейной, и лишь при определенных допущениях и определенных режимах работы магнитную цепь можно считать линейной.

9.1.2. Закон полного тока для магнитной цепи

Закон полного тока получен на основании многочисленных опытов. Этот закон устанавливает, что интеграл от напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру (циркуляция вектора напряженности) равен алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром:

(9.1)

причем положительными следует считать те токи, направление которых соответствует обходу контура по направлению движения часовой стрелки (правило буравчика). В частности, для контура на рис. 9.4 по закону полного

тока

Величина S I в (9.1) называется магнитодвижущей силой (МДС).

Основной единицей МДС в системе СИ является ампер (А). Основная единица напряженности магнитного поля в системе СИ - ампер на метр (А/м) - особого наименования не имеет. Часто применяется также единица, кратная основной единице напряженности магнитного поля, - ампер на сантиметр, 1 А/см = 100 А/м.

Магнитную цепь большинства электротехнических устройств можно представить состоящей из совокупности участков, в пределах каждого из которых можно считать магнитное поле однородным, т. е. с постоянной напряженностью, равной напряженности магнитного поля Н_k вдоль средней линии участка длиной l_k. Для таких магнитных цепей можно заменить интегрирование в (9.1) суммированием.

Если при этом магнитное поле возбуждается катушкой с током I, у которой w витков, то для контура магнитной цепи, сцепленного с витками и состоящего из n участков, вместо (9.1) можно записать

(9.2 а),

Если контур сцеплен с витками m катушек с токами, то

(9.2 б )

где F_p = I_pW_p - МДС.

Таким образом, согласно закону полного тока МДС F равна сумме произведений напряженностей магнитного поля на длины соответствующих участков для контура магнитной цепи. Произведение H_k·l_k ⁼ U_мk часто называют магнитным напряжением участка магнитной цепи.

9.1.3. Свойства ферромагнитных материалов

Магнитное состояние любой точки изотропной среды, т. е. среды с одинаковыми свойствами во всех направлениях, вполне определяется вектором напряженности магнитного поля Н и вектором магнитной индукции В, которые совпадают друг с другом по направлению.

Основная единица магнитной индукции в системе СИ называется тесла (Тл): 1 Тл = 1 Вб/м² = 1 В·с/м². Это индукция такого однородного магнитного поля, в котором магнитный поток Ф через поверхность площадью 1 м², перпендикулярную направлению магнитных линий поля, равен одному веберу (Вб).

В вакууме индукция и напряженность магнитного поля связаны простым соотношением: В = m₀Н, где m ₀ = 4p·10^-7 Гн/м - магнитная постоянная. Для ферромагнитных материалов зависимость индукции от напряженности магнитного поля В(H) в общем случае нелинейная.

Для того чтобы экспериментально исследовать магнитные свойства ферромагнитного материала, необходимо все измерения производить на образце, в котором магнитное поле однородное. Таким образцом может быть тороид, изготовленный из исследуемого ферромагнитного материала (рис. 9.5), длина магнитных линий в котором много больше его поперечных размеров (тонкостенный тороид). На тороиде находится равномерно навитая обмотка с числом витков w.

Можно считать, что в тороиде из ферромагнитного изотропного материала с плотно намотанными витками все магнитные линии - окружности, а векторы напряженности и индукции магнитного поля направлены по касательной к соответствующей окружности. Так, на рис. 9.5 показаны средняя магнитная линия и векторы Н и В в одной из ее точек.

При расчете напряженности и индукции магнитного поля в тонкостенном тороиде можно считать, что все магнитные линии имеют одинаковую длину, равную длине средней линии 2p r.

Предположим, что ферромагнитный материал тонкостенного тороида полностью размагничен и тока I в обмотке нет (В = 0 и Н = 0). Если теперь плавно увеличивать постоянный ток I в обмотке катушки, то в ферромагнитном материале возникнет магнитное поле, напряженность которого определяется законом полного тока (9.1):

H = Iw/2p r. (9.3)

Каждому значению напряженности H магнитного поля в тонкостенном тороиде соответствует определенная намагниченность ферромагнитного материала, а следовательно, и соответствующее значение магнитной индукции В.

Если начальное магнитное состояние материала тонкостенного тороида характеризуется значениями Н = 0, В = 0, то при плавном нарастании тока получим нелинейную зависимость В(Н), которая называется кривой первоначального намагничивания (рис. 9.5, штриховая линия). Начиная с некоторых значений напряженности H магнитного поля индукция В в тонкостенном ферромагнитном тороиде практически перестает увеличиваться и остается равной В_max. Эта область зависимости В(Н) называется областью технического насыщения.

Если, достигнув насыщения, начать плавно уменьшать постоянный ток в обмотке, т. е. уменьшать напряженность поля (9.3), то индукция также начнет уменьшаться. Однако зависимость В(Н) уже не совпадает с кривой первоначального намагничивания. Изменив направление тока в обмотке и увеличив его значение, получим новый участок зависимости В(Н). При значительных отрицательных значениях напряженности магнитного поля снова наступит техническое насыщение ферромагнитного материала. Если теперь продолжить эксперимент: сначала уменьшать ток обратного направления, затем увеличивать ток прямого направления до насыщения и т. д., то после нескольких циклов перемагничивания для зависимости В(Н) будет получена симметричная кривая (рис. 9.5, сплошная линия). Этот замкнутый цикл В(Н) называется предельной статической петлей гистерезиса (или предельным статическим циклом гистерезиса) ферромагнитного материала. Если во время симметричного перемагничивания область технического насыщения не достигается, то симметричная кривая В(Н) называется симметричной частной петлей гистерезиса ферромагнитного материала.

Предельный статистический цикл гистерезиса ферромагнитных материалов характеризуется следующими параметрами:

Н_с - коэрцитивной силой, В_r - остаточной индукцией и k_ = B_r/B_H-l0Hc - коэффициентом прямоугольности.

По значению параметра H_с предельного статического цикла гистерезиса ферромагнитные материалы делятся на группы:

1) магнитные материалы с малыми значениями коэрцитивной силы (H_с < 0,05...0,01 А/м) называются магнитно-мягкими;

2) магнитные материалы с большими значениями коэрцитивной силы (H_с > 20...30 кА/м) называются магнитно-твердыми.

Магнитно-твердые материалы используются для изготовления постоянных магнитов, а магнитно-мягкие - для изготовления магнитопроводов электротехнических устройств, работающих в режиме перемагничивания по предельному или частым циклам.

Магнитно-мягкие материалы в свою очередь делятся на три типа: магнитные материалы с прямоугольной предельной статической петлей гистерезиса, у которых коэффициент прямоугольности k_ > 0,95 (рис. 9.6, а); магнитные материалы с округлой предельной статической петлей гистерезиса, у которых коэффициент прямоугольности 0,4 < < k_ < 0,7 (рис. 9.6, б); магнитные материалы с линейными свойствами, у которых зависимость В(H) практически линейная: В = m_rm₀Н (рис. 9.6, в), где m_r - относительная магнитная проницаемость.

Все типы магнитных характеристик ферромагнитных материалов могут быть получены на образцах, изготовленных либо из различных ферромагнитных сплавов, либо из ферромагнитной керамики (ферриты). Ценное свойство ферритов в отличие от ферромагнитных сплавов - их высокое удельное электрическое сопротивление.

Магнитопроводы из ферромагнитных материалов с прямоугольным предельным статическим циклом гистерезиса применяются в оперативной памяти цифровых ЭВМ, магнитных усилителях и других устройствах автоматики. Ферромагнитные материалы с округлым предельным статическим циклом гистерезиса используются при изготовлении магнитопроводов электрических машин и аппаратов. Магнитопроводы этих устройств обычно работают в режиме перемагничивания по симметричным частным циклам. При основных расчетах магнитопроводов таких электротехнических устройств симметричные частные циклы заменяют основной кривой намагничивания ферромагнитного материала, которая представляет собой геометрическое место вершин симметричных частных циклов тонкостенного ферромагнитного тороида (рис. 9.7), полученных при синусоидальном токе низкой частоты в обмотке.

По основной кривой намагничивания ферромагнитного материала определяют зависимость абсолютной магнитной проницаемости

m_a = m_rm₀ = В/Н (9.4)

от напряженности Н магнитного поля, которая показана на рис. 9.7 штриховой линией.

На рис. 9.8 приведены основные кривые намагничивания некоторых электротехнических сталей, используемых в электрических машинах, трансформаторах и других устройствах, а также чугуна и пермаллоя.

Из ферромагнитных материалов с линейными свойствами изготовляют участки магнитопроводов для катушек индуктивности колебательных контуров с высокой добротностью. Такие контуры применяются в различных радиотехнических устройствах (приемниках, передатчиках), в малогабаритных антеннах средств связи и т. д.

Если на участке магнитопровода с площадью поперечного сечения S магнитное поле неоднородное, то часто расчет можно вести, пользуясь средним значением индукции В_ср = Ф/S и напряженностью Н_ср на средней магнитной линии. Например, для тороида с прямоугольной формой поперечного сечения, внутренним радиусом r_t, внешним радиусом r₂ и высотой h, изготовленного из магнитного материала с линейными свойствами В = m_rm₀H при m_r = const (рис. 9.6, в),

где

Из полученных выражений следует, что

В дальнейшем для упрощения расчетов неоднородность магнитного поля в поперечном сечении каждого участка магнитопровода учитывать не будем, и будем считать, что поле в каждом участке однородное и определяется значениями напряженности и индукции на средней магнитной линии.

9.1.4. Неразветвленная магнитная цепь

Задачей расчета неразветвленной магнитной цепи в большинстве случаев является определение МДС F = Iw, необходимой для того, чтобы получить заданные значения магнитного потока или магнитной индукции в некотором участке магнитопровода (чаще всего в воздушном зазоре).

На рис. 9.9 приведен пример неразветвленной магнитной цепи - магнитопровод постоянного поперечного сечения S₁ с зазором. На этом же рисунке указаны другие геометрические размеры обоих участков магнитопровода: средняя длина l₁ магнитной линии первого участка из ферромагнитного материала и длина l₂ второго участка - воздушного зазора. Магнитные свойства ферромагнитного материала заданы основной кривой намагничивания В(Н) (рис. 9.10) и тем самым по (9.4) зависимостью m_a(Н).

По закону полного тока (9.2)

где H₁ и H₂ - напряженности магнитного поля в первом и втором участках.

В воздушном зазоре значения магнитной индукции В₂ и напряженности H₂ связаны простым соотношением В₂ = m₀ Н₂, а для участка из ферромагнитного материала В₁ = m_a1 Н₁.

Кроме того, в неразветвленной магнитной цепи магнитный поток одинаков в любом поперечном сечении магнитопровода:

Ф = В₁S₁ =B₂S₂, (9.6)

где S₁ и S₂ - площади поперечного сечения участка из ферромагнитного материала и воздушного зазора.

Если задан магнитный поток Ф, то по (9.6) найдем значения индукций B₁ и B₂. Напряженность поля H₁ определим по основной кривой намагничивания (рис. 9.10), а H₂ = B₂/m₀. Далее по (9.5) вычислим необходимое значение МДС.

Сложнее обратная задача: расчет магнитного потока при заданной МДС F.

Заменив в (9.5) напряженности магнитного поля значениями индукции, получим

,

или с учетом (9.6)

где r_Mk = l_k / S_k m_ak - магнитное сопротивление k-гo участка магнитной цепи, причем магнитное сопротивление k-гo участка нелинейное, если зависимость В(H) для этого участка нелинейная (рис. 9.10), т.е. m_ak ≠ const.

Для участка цепи с нелинейным магнитным сопротивлением r_M можно построить вебер-амперную характеристику - зависимость магнитного потока Ф от магнитного напряжения U_M на этом участке магнитопровода. Вебер-амперная характеристика участка магнитопровода рассчитывается по основной кривой намагничивания ферромагнитного материала В(H). Чтобы построить вебер-амперную характеристику, нужно ординаты и абсциссы всех точек основной кривой намагничивания умножить соответственно на площадь поперечного сечения участка S и его среднюю длину l.

На рис. 9.11 приведены вебер-амперные характеристики Ф(U_M1) для ферромагнитного участка с нелинейным магнитным сопротивлением r_M1 и Ф(U_M2) для воздушного зазора с постоянным магнитным сопротивлением r_M2 = l₂ / S₂m₀ магнитопровода по рис. 9.9.

Между расчетами нелинейных электрических цепей постоянного тока и магнитных цепей с постоянными МДС нетрудно установить аналогию. Действительно, из уравнения (27.7) следует, что магнитное напряжение на участке магнитной цепи равно произведению магнитного сопротивления участка на магнитный поток U_M = r_MФ. Эта зависимость аналогична закону Ома для резистивного элемента электрической цепи постоянного тока U = rI. Сумма магнитных напряжений в контуре магнитной цепи равна сумме МДС этого контура S U_M = S F, что аналогично второму закону Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока S U = S E.

Продолжая дальше аналогию между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями с постоянными МДС, представим неразветвленную магнитную цепь (рис. 9.9) схемой замещения (рис. 9.12, а).

В качестве иллюстрации ограничимся применением для анализа неразветвленной магнитной цепи графических методов: метода сложения вебер-амперных характеристик (рис. 9.11) и метода нагрузочной характеристики (рис. 9.12, б).

Согласно первому методу построим вебер-амперную характеристику всей неразветвленной магнитной цепи Ф(U_M1 + U_M2), графически складывая по напряжению вебер-амперные характеристики ее двух участков. При известной МДС F = Iw по вебер-амперной характеристике всей магнитной цепи определим рабочую точку А, т. е. магнитный поток Ф, а по вебер-амперным характеристикам участков магнитопровода - магнитные напряжения на каждом из них.

Согласно второму методу для второго (линейного) участка построим нагрузочную характеристику

т. е. прямую, проходящую через точку F на оси абсцисс и точку F/r_M2 на оси ординат. Точка пересечения А нагрузочной характеристики с вебер-амперной характеристикой ферромагнитного участка цепи Ф(U_M1) определяет магнитный поток Ф в цепи и магнитные напряжения на ферромагнитном участке U_M1 и воздушном зазоре U_M2. Значение индукции в воздушном зазоре B₂ = Ф/S₂.

9.1.5. Неразветвленная магнитная цепь с постоянным магнитом

Рассмотрим расчет простейшей неразветвленной магнитной цепи с постоянным магнитом. Предположим, что тороид длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 9.13, а) изготовлен из магнитно-твердого материала, часть предельного статического цикла гистерезиса которого В(Н) изображена на рис. 9.13, б. Материал тороида был предварительно намагничен так, что его магнитное состояние характеризуется остаточной индукцией В_r.

Вырежем из тороида участок длиной l_B << l (рис. 9.13, в). Оставшаяся часть тороида будет постоянным магнитом, а в образовавшемся воздушном зазоре магнитное поле возбуждается этим постоянным магнитом. Пренебрегая неоднородностью магнитного поля в воздушном зазоре, будем считать, что всюду в зазоре магнитное поле характеризуется напряженностью магнитного поля H_B и индукцией В_B = m₀H_B. Учтем, что вследствие "выпучивания" магнитных линий в воздушном зазоре площадь поперечного сечения воздушного зазора S_B больше площади поперечного сечения постоянного магнита S_m = S.

По закону полного тока (9.5) для контура, совпадающего со средней линией магнитопровода,

H_M l_M + H_B l_B = 0 (9.8)

где H_M и l_M - напряженность магнитного ноля и длина средней линии постоянного магнита.

Из (9.8) следует, что

(9.9)

Кроме того, так как магнитный поток Ф в неразветвленной магнитной цепи постоянен, то

(9.10)

Подставив значение индукции в воздушном зазоре В_B из (9.10) в (9.9), получим уравнение прямой линии, проходящей через начало координат (рис. 9.13, б):

(9.11)

где N_M = S_M l_B/m₀S_Bl_M - коэффициент размагничивания постоянного магнита.

Точка пересечения А прямой Н_M = -N_M B_M и предельного статического цикла гистерезиса материала В(Н) определяет индукцию в магните В = В_M, а следовательно, и индукцию в воздушном зазоре по (9.10).

Если в воздушный зазор медленно вводить ферромагнитный замыкатель с малым магнитным сопротивлением, то значение индукции в магнитопроводе будет увеличиваться по частному гистерезисному циклу, показанному на рис. 9.13, б штриховой линией. При многократном магнитном замыкании и размыкании воздушного зазора изменение индукции магнита происходит по некоторому установившемуся частному циклу.

Для получения больших значений индукции в воздушном зазоре необходимо изготовлять постоянный магнит из магнитно-твердых материалов, т. е. с большим значением коэрцитивной силы Н_C.

Контрольные вопросы по теме 9.1.

1. Почему сердечники трансформаторов изготовляют из стали? Можно ли в сердечниках трансформаторов применять алюминий?

2. Замкнутый сердечник катушки изготовлен из ферромагнитного материала, известна напряженность магнитного поля в сердечнике. Как найти магнитную индукцию в сердечнике?

3. При изготовлении сердечника трансформатора из электротехнической стали в местах соединения его участков (между стержнем и ярмом) остается некоторый воздушный зазор. Почему этот зазор стремятся по возможности уменьшить?

4. Свойства ферромагнитных материалов связаны с изменением ориентации магнитных моментов доменов. Как объяснить с этой точки зрения магнитное насыщение, магнитный гистерезис и остаточную намагниченность?

Задание для самостоятельной работы по теме 9.1.

1. На замкнутый сердечник, длина которого 30 см и поперечное сечение S = 5 см², намотана обмотка, состоящая из 500 витков. Определить индуктивность катушки и магнитный поток в сердечнике при токе в обмотке I = 3 A, если сердечник изготовлен:

- из электротехнической стали;

- из неферромагнитного материала.

Найти абсолютную магнитную проницаемость электротехнической стали при найденных величинах В и Н.

2. Кольцевая катушка содержит 600 витков и имеет сердечник, средний радиус которого r = 5 см и площадь поперечного сечения S = 6 см². Магнитный поток в сердечнике Ф = 36 мкВб. Определить ток и индуктивность кактушки в двух случаях:

- сердечник неферромагнитный;

- сердечник из электротехнической стали.

3. В равномерном магнитном поле с индукцией В = 1,2 Тл находится прямолинейный проводник длиной 80 см с током I = 20A. Определить силу, действующую на проводник в различных случаях его расположения по отношению к магнитному полю: угол a между направлением тока и вектора магнитной индукции равен 30°, 60° и 90°.