Тема №4. Системы линейных алгебраических уравнений
1. Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида
(4.1)
Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел
, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.
Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.
Например, система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система
несовместная, а система совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения .
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.
Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть
.
Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):
.
Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:
.
С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде или
. (4.2)
2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы
Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой
соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай,
когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы ( ) и ,
то есть основная матрица системы
Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем
Так как , а , тогда
. (4.3)
Убедимся, что найденное значение является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим , откуда имеем .
Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству
.
Покажем, что матрица равна матрице
С этой целью умножим предыдущее равенство
слева на матрицу
В результате получим
Такое решение системы уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.
Пример. Найти решение системы
Выпишем матрицу системы:
,
Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:
или
Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .
Ищем решение по формуле: .
Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.
Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.
3. Правило и формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными
От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.
Учитывая равенство , или в развернутом виде
.
Таким образом, после перемножения матриц получаем:
или
.
Заметим, что сумма есть разложение определителя
по элементам первого столбца, который получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Таким образом, можно сделать вывод, что
Аналогично: , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, .
Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам
, , ,
известным и как формулы Крамера.
Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:
. (4.4)
Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:
- по матрице системы вычисляется определитель системы ;
- если , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется столбцом свободных членов и вычисляются определители получаемых при этом матриц;
- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).
Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений
Решение. Определитель данной системы
.
Так как , то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:
, , .
Следовательно, по формулам (4.4) получаем:
, , .
Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.
Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.
Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)
Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица
.
Заметим, что при появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно . Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности (разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли.
Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).
Система линейных алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Если – число неизвестных системы, то система имеет единственное решение, а если , то система имеет бесчисленное множество решений.
Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:
1. Вычисляют ранги основной и расширенной матриц СЛАУ. Если , то система не имеет решений (несовместна).
2. Если , система совместна. В этом случае берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка и рассматривают уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор, а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными (неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений только члены, содержащие базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих неизвестных, переносят в правые части уравнений.
3. Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).
4. Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.
Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.
Пример. Определить совместность системы уравнений
Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.
Имеем:
Так как матрица имеет порядок , то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, . Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,
Ранг расширенной матрицы этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,
Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.
Пример. Исследовать совместность системы уравнений
Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен
а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы также равен двум, например,
а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.
Возьмем за базисный минор, например . В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.
Неизвестные и объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную объявляем свободной.
В первых двух уравнениях члены, содержащие переменную , перенесем в правые части. Тогда получим систему
Решаем эту систему с помощью формул Крамера.
,
.
Таким образом, общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов вида ,
где – любое действительное число.
Частным решением данного уравнения будет, например, набор , получающийся при .
4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющих последовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при . Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему
(4.5)
Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:
(4.6)
Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент . Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).
Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на , сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:
(4.7)
Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после k-1-го шага, получим расширенную матрицу
(4.8)
Последние уравнений для совместной системы (4.1) являются тождествами . Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система (4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние уравнений можно не рассматривать. Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная матрица (4.10) имеют вид
(4.9)
(4.10)
После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных , либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.
Пример. Решить систему методом Гаусса:
.
Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид
.
Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)
.
Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений
которая эквивалентна исходной системе. Далее последовательно находим:
, , .
Пример. Решить систему методом Гаусса:
.
Преобразуем расширенную матрицу системы по методу Гаусса:
Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению .
Следовательно, исходная система несовместна.
Системы однородных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если она тождественными преобразованиями приводится к виду:
(4.11)
Ясно, что однородная система всегда совместна, хотя бы потому, что она всегда имеет тривиальное решение x1 = x2 =…= xn = 0.
Сплошь нулевое решение часто называют тривиальным решением
системы.
Содержательным вопросом, очевидно, является следующий: при каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения? Ответом служит следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, .
Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, . Пусть . Тогда один из миноров размера отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:
. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .
Достаточность.
Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.
В заключении выделим частный случай последней теоремы.
Пусть дана однородная система линейных уравнений
с неизвестными (4.11).
Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. .
Если система имеет ненулевые решения, то , так как при система имеет единственное, нулевое решение. Если же , то ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных, то есть . Это означает, что система имеет бесконечное множество ненулевых решений.
Пример. Решить систему
Решение:
Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их.
,
Стало быть, – общее решение.
Положив х3 = 0, получаем одно частное решение: х1 = 0, х2 = 0, хз=0. Положив х3 = 1, получаем второе частное решение: х1 = 2, х2 =3, хз = 1, и т.д.