Контрольная работа № 1

 

Образцы решения типовых задач

Пример 1. Разложить вектор  по векторам:   .

Решение. Разложить вектор  по векторам:  - это значит представить его в виде , где , , , , т.е.

 

,

 

.

 

Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, получим: . Таким образом, вектор .

Ответ: .

 

 

Пример 2. Даны точки A, B, C, D. Необходимо ответить на следующие вопросы:

а) коллинеарны ли векторы  и ?

б) какой из них длиннее и во сколько раз?

Решение. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, то есть  и .

Тогда  и .

а) Для того, чтобы ненулевые векторы были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их соответственные координаты были пропорциональными, то есть

. Поэтому векторы  и  коллинеарны, так как .

б) Длина (модуль) вектора определяется по формуле .

Тогда , . Таким образом вектор  длиннее вектора  в  раза.

 

Пример 3. Даны вершины  треугольника ABC (сделать чертеж). Найти:

а)     длины сторон AC и BC;

б)     уравнение сторон AB и BC;

в)     величину внутреннего угла A;

г)      уравнение медианы, проведенной из вершины A;

д)     уравнение высоты, проведенной из вершины A;

е)     длину высоты, проведенной из вершины A;

ж)    площадь .

 

Решение.

а) длины сторон AC и BC вычислим по формулам:

 

_,

 

 

_,

 

б) уравнение сторон AB и BC напишем как уравнение прямых, проходящих через две данные точки:

АВ: . Тогда , отсюда следует   или .

ВС: .

в) величину внутреннего угла A определим из формулы: . Для этого напишем уравнение прямой АС: .

 

;

 

г) уравнение медианы (AМ) напишем как уравнение прямой, проходящей через две точки: А и М, где точка М середина отрезка . Ее координаты определяются по формуле: ,  

АМ: , отсюда следует   или .

д) уравнение высоты, проведенной из вершины A. Так как сторона ВС параллельна оси OY, поэтому высота AN перпендикулярна этой стороне и имеет уравнение .

е) длина высоты AN, проведенной из вершины A. Для этого вначале найдем координаты точки N, так как высота AN перпендикулярна ВС, то точка N имеет координаты (-1; -2). Тогда длина высоты  AN будет равен:

 

.

 

ж) площадь  вычислим по формуле:

 

 

Пример 4. Даны три последовательных вершины параллелограмма А, В, С. Найти его четвертую вершину D и длины диагоналей

.

Решение. Обозначим координаты точки  и найдем координаты векторов:

 

 

.

 

Тогда  и .

 

,

.

 

Пример 5. Даны вершины  пирамиды  ABCD. Найти:

а)     длины ребер AB и AC;

б)     угол между ребрами AB и AC;

в)     площадь грани ABC;

г)      объем пирамиды.

 

Решение. Находим векторы AB и AC

,

.

а) длины ребер AB и AC находим как модули данных векторов: ,

.

б) угол между ребрами AB и AC находим по формуле

 

 

 

в) Для определения площади грани ABC вычислим векторное произведение векторов  и :

Площадь грани ABC равен половине площади параллелограмма, построенного на векторах   и , то есть

половине модуля векторного произведения данных векторов:

 

 

г) объем пирамиды V пирамиды равен  объема параллелепипеда, построенного на векторах _,  и . Вектор :

Используя формулу для смешанного произведения векторов

_.

Тогда V пирамиды равен:

  

Пример 6. Найти уравнение прямой проходящей через точку :

а) параллельно прямой соединяющей точки   и ;

б) перпендикулярно прямой ;

в) расстояние от точки  до прямой .

а) напишем уравнение прямой (KM) как уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

KM: . Отсюда .

Так как равенство угловых коэффициентов  является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, напишем уравнение искомой прямой: .

 

б) для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку, то есть . Перепишем уравнение прямой

, , тогда уравнение искомой прямой:

 

в) расстояние от точки  до прямой  найдем по формуле

.

 

Пример 7. Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через точки :

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид , тогда

 

 или .

расстояние от точки  до плоскости  найдем по формуле :

.

 

Пример 8. Привести к каноническому виду прямую

Каноническое уравнение искомой прямой имеет вид:

, где

  - координаты некоторой точки М, являющейся решением системы уравнений

 .

Для решения выберем точку на прямой следующим образом: пусть, например , тогда получим систему уравнений  отсюда находим   и ,

Тогда .