V. ПОНЯТИЕ

§1. Общая характеристика понятий

Одной из форм интеллектуальной познавательной деятельности является понятие. Мышление, рассуждение всегда осуществляется в языке, но все-таки мыслим мы не языковыми выражениями (терминами), а понятиями.

Термин – значимое слово или словосочетание, входящее в состав предложения, но само предложением не являющееся.

В обыденной жизни смысл терминов кажется интуитивно ясным. Достаточно того, что со словами связываются некоторые представления, посредством которых осуществляется соотнесение слов с их значениями. Такие представления позволяют достаточно успешно пользоваться терминами и не путать предметы, обозначаемые этими терминами.

Однако часто требуется особая точность в формулировках (например, при составлении законодательных актов или коммерческих договоров). Не менее важное значение имеет терминологическая точность и в научных исследованиях.

Проблема заключается в многозначности языка: одному и тому же выражению может придаваться различный смысл, что и вызывает большинство споров. Рассмотрим пример, приведенный в одном из диалогов Платона. Два софиста запутывают простодушного человека по имени Ктесипп:

– Скажи-ка, есть ли у тебя собака?

– И очень злая, – отвечал Ктесипп.

– А есть ли у нее щенята?

– Да, тоже злые.

– А их отец, конечно, собака тоже?

– Я даже видел, как он занимается с самкой.

– И этот отец тоже твой?

– Конечно.

– Вот видишь, ты утверждаешь, что твой отец – собака и ты брат щенят! (Платон, «Евтидем» – Собр. соч. Т.1, – М., 1990)

Здесь выражение «твой отец» трактуется сначала в одном смысле: «существо мужского пола, которое принадлежит тебе и является чьим-то родителем», а затем в другом – «существо мужского пола, которое является твоим родителем».

Таким образом, существует насущная необходимость в однозначном понимании лексики естественного языка. Что же значит «понимать» термин?

Понимать термин – значит знать, какие именно предметы подпадают под него, то есть по любому предъявленному предмету уметь решать вопрос, можно ли данный предмет обозначить данным термином.

В целях достижения однозначности с термином обычно связывают особую мысль, в которой как раз и раскрывается его понимание. Эта мысль называется понятием. Важно не путать термин и понятие, которое с ним связывается. С одним и тем же термином могут быть связаны сразу несколько понятий (такие термины принято называть «омонимами»). Например, «лук» обозначает: 1) род дву- и многолетних трав семейства лилейных; 2) ручное оружие для метания стрел, состоящее из пружинистой дуги и тетивы; 3) двухнедельный иллюстрированный многотиражный журнал, выходящий в Нью-Йорке.

Понятие – это мысль, в которой на основании некоторого признака выделяются из универсума и обобщаются в класс все предметы, обладающие этим признаком.

Универсум – это предметная область, о которой идет речь в данном языковом контексте. Символически она обозначается буквой U. В качестве универсума могут выступать множество городов, чисел, людей, их деяний и т.д.

Заметим, что понятия, раскрывающие смысл терминов, в свою очередь, тоже могут быть выражены в языке. Это осуществляется с помощью универсалий – описательных имен вида

aА(a),

Читается такая конструкция следующим образом: «предмет a такой, что он обладает признаком А(a)». Переменная a указывает на универсум данного понятия. (Если U есть множество чисел, то a – число, если U есть множество людей, то a – человек, и т.д.) Символ А(a) указывает на тот признак, по которому выделяются предметы.

Универсум U, по которому пробегает переменная a, называется также родом данного понятия, а признак А(a) – видовым отличием. Таким образом, всякое понятие выделяет в универсуме (роде) U те и только те предметы, которые обладают видовым отличием А(a).

Графически это изображается следующим образом:

С семантической точки зрения всякое понятие обладает двумя важнейшими характеристиками: содержанием и объемом.

Содержание понятия, выраженного универсалией aА(a), – это тот самый признак А(a), на основании которого выделяются из универсума и обобщаются в класс все предметы в данном понятии.

Объем понятия, выраженного универсалией aА(a), – это класс всех тех предметов из универсума, которые обладают признаком А(a). Сокращенно объем понятия aА(a) часто обозначают просто буквой А. Предметы, входящие в класс А, называются элементами объема понятия aА(a).

Рассмотрим, например, термин «куб». У него может быть два значения – геометрическое и арифметическое. Чтобы избежать неясности, сформулируем понятие о кубе: «правильный многогранник с шестью гранями (гексаэдр)». Универсум (род) этого понятия – множество всех многогранников. Содержание (видовое отличие) – сложный признак «иметь шесть равных друг другу граней». Объем – множество таких многогранников, которые имеют шесть одинаковых граней. Элементы объема – отдельные кубы (гексаэдры).

Упражнение 1. Свяжите со следующими терминами точные понятия. Укажите универсум (род), объем и содержание каждого из них.

а) человек

б) преступление

в) квадрат

г) невменяемость

§2. Виды понятий по характеру их объема

При выделении видов понятий нужно учитывать различные их особенности. Наиболее важными основаниями для деления понятий являются: (1) тип их объема, (2) тип элементов, входящих в их объемы, (3) тип признаков, на основании которых производится обобщение.

По характеру объема понятия делятся на пустые и непустые.

– Пустым считается понятие, в объеме которого нет ни одного элемента (например, «человек, являющийся сейчас президентом СССР»).

– Непустым считается понятие, в объеме которого есть по крайней мере один элемент (например, «число, являющееся четным»).

Непустые понятия, в свою очередь, делятся на единичные и общие.

– Единичным считается понятие, в объеме которого есть ровно один элемент (например, «число, являющееся простым и четным»).

– Общим считается понятие, объем которого состоит более чем из одного элемента (например, «человек, являющийся студентом какого-либо ВУЗа»).

Общие понятия также делятся на универсальные и неуниверсальные.

– Универсальным считается понятие, объем которого совпадает с универсумом (например, «квадрат, у которого все стороны равны»).

– Неуниверсальным считается понятие, объем которого меньше универсума (например, «четырехугольник, у которого все стороны равны»).

Упражнение 2. Определите вид следующих понятий по характеру их объема.

а) наименьшее натуральное число

б) наибольшее натуральное число

в) человек, являющийся ребенком своих родителей

г) человек, у которого есть брат или сестра

д) человек, который первым ступил на поверхность Марса

е) человек, который первым ступил на поверхность Луны

§3. Виды понятий по типу элементов объема

По типу элементов объема понятия делятся на:

а) конкретные и абстрактные:

– Конкретным считается понятие, элементами объема которого являются объекты или множества объектов (например, «человек, умеющий играть на скрипке»).

– Абстрактным считается понятие, элементами объема которого являются свойства, состояния или отношения (например, «состояние аффекта, вызванное чрезвычайным происшествием»).

б) собирательные и несобирательные:

– Собирательным считается понятие, элементами объема которого являются множества (например, «стадо оленей, пасущихся на опушке леса»).

– Несобирательным считается понятие, элементами объема которого являются отдельные предметы, свойства или отношения (например, «страх, испытываемый перед посещением стоматолога»).

Упражнение 3. Определите вид следующих понятий по типу элементов, входящих в их объем.

а) устройство, предназначенное для приема телепрограмм (телевизор)

б) множество книг, хранящихся вместе и доступных для общественного пользования (публичная библиотека)

в) совокупность устойчивых, социально значимых свойств человека, проявляющихся в его поведении (личность)

г) любовь, вспыхнувшая внезапно при первой встрече (любовь с первого взгляда)

§4. Виды понятий по типу указываемых в них признаков

По типу признаков понятия подразделяют на:

а) положительные и отрицательные:

– Отрицательным считается понятие, в признаке которого содержится частица «не» (например, «человек, не знающий японского языка»).

– Положительным считается понятие, в признаке которого не содержится частица «не» (например, «книга, взятая в библиотеке»).

б) относительные и безотносительные:

– Относительным считается понятие, признак которого указывает на выделяемый предмет как на одну из сторон некоторого отношения, другая сторона которого в данном понятии не уточняется. Например, относительным является понятие о жене – «женщина, состоящая в браке с каким-то мужчиной», – поскольку его признак выделяет женщин не по их собственным качествам, а через отношение к каким-то мужчинам, то есть как одну из сторон супружеской четы.

Относительные понятия всегда порождают вопрос, относительно кого (чего) данный предмет обладает указанным признаком. Если же такой вопрос не может быть задан или если ответ на него уже имеется в данном понятии, оно считается безотносительным.

– Безотносительным считается понятие, признак которого указывает на выделяемый предмет через его собственные характеристики. Примерами безотносительных понятий могут служить понятия о балерине – «женщина, занимающаяся балетом», о красавице – «женщина, обладающая прекрасной внешностью», и т.д. Здесь женщины выделяются на основании их собственных характеристик.

Однако понятие о жене Сократа – «женщина, состоявшая в браке с Сократом» – также является безотносительным. Ведь, по сути, признак «состоять в браке с Сократом» выражает уже не отношение между этой женщиной и каким-то мужчиной, а собственную характеристику конкретной женщины – Ксантиппы. Точно так же к числу безотносительных относится и понятие о незамужней женщине – «женщина, которая не состоит в браке ни с каким мужчиной». Быть не замужем – это фактически уже не отношение к какому-то мужчине, а свойство самой женщины.

Заметим, что к относительному понятию всегда можно подобрать другое, соотносительное, то есть осуществить конверсию. Для приведенного выше понятия о жене соотносительным является понятие о муже: «мужчина, состоящий в браке с какой-то женщиной». Для понятия о родителе соотносительным будет понятие о ребенке, для понятия о причине – понятие о следствии, и т.д.

А вот к понятиям о жене Сократа и о незамужней женщине подобрать соотносительные невозможно. Действительно, в результате конверсии у нас получились бы выражения «Сократ, который состоит в браке с данной женщиной» и «ни один мужчина, который состоит в браке с данной женщиной». Эти выражения заведомо бессмысленны, не являются универсалиями и не выражают собой никаких понятий.

Упражнение 4. Определите вид следующих понятий по типу признаков, на основании которых производится обобщение. К относительным понятиям подберите соотносительные.

а) число, не имеющее делителей кроме самого себя и единицы (простое число)

б) феодал, находящийся в личной зависимости от какого-то другого феодала (вассал)

в) девочка, которая является дочерью мужа какой-то женщины, но не является ее собственной дочерью (падчерица)

г) философ, который был учителем Александра Македонского (Аристотель)

Осуществить полный логический анализ понятия значит определить его универсум (род), объем и содержание, а также установить, к каким видам оно относится по всем указанным выше основаниям деления.

§5. Булевы операции над понятиями

В математике исследуются различные операции, выполняемые над числами: их можно складывать, делить, вычитать, умножать, возводить в степень, извлекать корни и т.д. Точно так же и в логике исследуются различные операции над высказываниями, понятиями и теориями. Многие из них были рассмотрены в предыдущих главах – отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, обращение, превращение и ряд других.

Сейчас мы перейдем к рассмотрению операций над понятиями, точнее – над объемами понятий, то есть классами. Такие операции называются булевыми, по имени английского логика Дж. Буля, построившего особую алгебру логики, получившую в его честь название булевой алгебры.

Допустим, что даны два понятия aА(a) и aВ(a). Условимся, что род у этих понятий один и тот же. Объемы этих понятий будем сокращенно обозначать просто буквами А и В (читается: «класс А» и «класс В»). Тогда с этими объемами можно осуществить следующие операции:

Штриховкой на схемах обозначен результат применения соответствующих операций к классам А и В.

Пересечение объемов двух понятий равняется классу предметов, которые входят одновременно в объем каждого из них. Объединение двух понятий равняется классу предметов, которые входят в объем по крайней мере одного из них. Вычитание объема одного понятия из объема другого равняется классу предметов, которые входят в объем первого понятия, но не входят в объем второго. Дополнение к объему понятия представляет собой класс предметов, которые не входят в объем этого понятия.

Упражнение 5. На схеме, состоящей из трех попарно пересекающихся кругов А, В и С, заштрихуйте область, соответствующую формуле (АВ) ((С\А) (С\В))

§6. Отношения между понятиями по объему

Между понятиями существуют объективные, не зависящие от человека отношения. Прежде всего, это отношения сравнимости и несравнимости.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются сравнимыми, если и только если их универсумы совпадают. Например, понятия о преступнике и о жертве преступления являются сравнимыми. Оба они относятся к одной и той же предметной области – универсуму людей.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются несравнимыми, если они относятся к различным универсумам. Например, понятие о четном числе и понятие о европейской столице являются несравнимыми, поскольку первое из них имеет своим родом универсум чисел, а второе – универсум городов.

Среди всевозможных пар сравнимых понятий можно выделить три фундаментальных отношения в том смысле, что с их помощью возможно задать все остальные отношения. К числу фундаментальных принадлежат отношения совместимости, включения и исчерпывания.

Фундаментальные отношения:

1) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении совместимости, если и только если пересечение их объемов А и В не пусто, то есть

АВ

Это означает, что в универсуме имеется по крайней мере один элемент, обладающий как признаком А(a), так и признаком В(a) (например, А – студент, В – спортсмен).

2) Понятие aВ(a) находится к понятию aА(a) в отношении включения, если и только если при вычитании объема aА(a) из объема aВ(a) получается пустое множество, то есть

В\A =

Это означает, что всякий элемент универсума, обладающий признаком В(a), обладает также признаком А(a) (например, А – учащийся, В – студент).

3) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении исчерпывания, если и только если объединение их объемов А и В равно универсуму, то есть

АВ = U

Это означает, что каждый элемент универсума обладает признаком А(a) или признаком В(a) (например, А – сын, В – дочь; каждый человек является чьим-то сыном или дочерью).

Вспомогательные отношения выводятся из фундаментальных. Наиболее важными из них являются: равнообъемность, подчинение, соподчинение, перекрещивание, противоречие, дополнительность.

Примеры:

1)  Равнообъемность: «параллелограмм, имеющий равные углы и стороны» (А) и «параллелограмм, имеющий равные диагонали» (В)

2)  Подчинение: «город, расположенный в Европе» (А) и «город, расположенный на материке Евразия» (В)

3)  Соподчинение: «остроугольный треугольник» (А) и «тупоугольный треугольник» (В)

4)  Противоречие: «животное, умеющее плавать» (А) и «животное, не умеющее плавать» (В)

5)  Дополнительность: «территория, находящаяся севернее Южного Тропика» (А) и «территория, находящаяся южнее Экватора» (В)

6)  Перекрещивание: «человек, изучающий логику» (А) и «человек, изучающий немецкий язык» (В)

Когда сравнивается большое число понятий, круговые схемы могут служить хорошим средством для наглядного отображения отношений между этими понятиями. Предположим, нам надо сравнить понятия о следующих предметах: (1) летательный аппарат тяжелее воздуха, (2) летательный аппарат легче воздуха, (3) самолет, (4) пассажирский самолет, (5) дирижабль, (6) воздушный шар, (7) пилот дирижабля

Построим единую круговую диаграмму. Универсум – общий род большинства сравниваемых понятий – летательные аппараты.

Упражнение 6. Установите, в каких отношениях находятся объемы следующих понятий: (1) предмет мебели, (2) предмет мебели, предназначенный для кухни, (3) стол, (4) кухонный стол, (5) кухня, (6) письменный стол, (7) мебельный гарнитур.

§7. Обобщение и ограничение понятий

Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции – обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «род-вид». Из двух непустых понятий одно считается родовым, а другое видовым, если второе находится в отношении подчинения к первому. Это отношение на формальном языке обозначается символом « ».

Например, из двух понятий aА(a) «европейский город» и aВ(a) «европейская столица» первое является родовым, а второе – видовым. То есть ВА. Интересно, что содержания этих понятий находятся в обратном отношении, а именно, содержание aА(a) является частью содержания понятия aВ(a). Этот факт известен в логике как закон обратного отношения.

Закон обратного отношения: объем понятия aА(a) составляет часть объема понятия aВ(a), если и только если содержание понятия aВ(a) является частью содержания понятия aА(a). На формальном языке:

А В    А(a) В(a)

Обобщением называют переход от видового понятия к родовому (то есть от понятия с меньшим объемом и большим содержанием, к понятию с большим объемом и меньшим содержанием). Для непустых понятий пределом обобщения является универсальное понятие.

Например: «женщина, которая является королевой Великобритании» → «женщина, живущая в Букингемском дворце» → «женщина, живущая в Лондоне» → «женщина, живущая в Великобритании» → «женщина, живущая на острове» → «женщина»

Ограничением называют переход от родового понятия к видовому (то есть от понятия с большим объемом и меньшим содержанием, к понятию с меньшим объемом и большим содержанием). Для непустых понятий пределом ограничения является единичное понятие.

Например: «человек» → «человек, живущий в Евразии» → «человек, живущий в Европе» → «человек, живущий в европейской части России» → «человек, живущий в Москве» → «человек, живущий в Центральном Административном Округе Москвы» → «человек, являющийся нынешним мэром Москвы».

Упражнение 7. Обобщите понятие о кенгуру (не менее пяти шагов), ограничьте понятие о писателе (не менее пяти шагов).

§8. Деление понятий

Еще одной важной операцией является деление понятий.

Деление некоторого непустого понятия aВ(a) – это переход от данного понятия к некоторой системе непустых понятий S = {aА₁(a), aА₂(a), …, aА_n(a)}, каждое из которых является видовым по отношению к исходному. В состав деления входят:

1) Делимое понятие – родовое понятие aВ(a), объем которого разбивается на классы.

2) Члены деления – видовые понятия aА₁(a), aА₂(a), …, aА_n(a), полученные в результате такого разбиения.

3) Основание деления – характеристика предметов, входящих в объем делимого понятия, модификация которой и порождает систему членов деления S.

В зависимости от выбранного основания деления, различают следующие виды деления: дихотомическое и по видоизменению основания.

В случае дихотомического деления родового понятия aВ(a) основанием деления является признак, присущий лишь части предметов, входящих в объем aВ(a). Деление осуществляется по наличию или отсутствию этого признака у предметов делимого понятия. Например:

Во втором случае в качестве основания деления используются варьируемые характеристики элементов объема делимого понятия (вес, цвет, объем, форма, величина и т.п.). Например,

Упражнение 8. Осуществите деление следующей группы имен десятью различными способами: (1) Алиса, (2) Навуходоносор, (3) Додон, (4) Александр, (5), Марлен, (6) Герда, (7) Екатерина, (8) Мафусаил, (9) Октябрина, (10) Николай, (11) Евдудндокта, (12) Мария.

Правила деления:

1) Деление должно быть полным (то есть объединение объемов членов деления должно совпадать с объемом делимого понятия):

А₁А₂…А_n = В

Пример неполного деления: люди делятся на брюнетов и блондинов (пропущены классы шатенов, рыжих и т.д.). Простейший способ избежать этой ошибки – всегда включать в систему деления категорию «и прочие».

2) Деление не должно быть перекрещивающимся (то есть все члены деления должны быть попарно несовместимы друг с другом):

для любых i, j n А_iА_j =

Пример перекрещивающегося деления: писатели делятся на поэтов и прозаиков (писатель может быть одновременно и тем, и другим). Заметим, что в науке часто используется прием, сходный с делением, – типологизация.

Под типологизацией понимают расчленение системы объектов на группы, обладающие сходным структурным строением или функцией (типы). В отличие от обычного деления, здесь предполагается, что один и тот же предмет может относиться сразу к нескольким типам.

3) Деление не должно быть сбивчивым (то есть, оно должно осуществляться по одному основанию). Это правило является самым важным: при его нарушении чаще всего нарушаются и остальные два.

Колоритный пример сбивчивого деления приводит аргентинский писатель Х.Л. Борхес. Оно представляет собой отрывок из «некой китайской энциклопедии», где дается классификация животных и говорится, что они «подразделяются на: а) принадлежащих императору, б) бальзамированных, в) прирученных, г) молочных поросят, д) сирен, е) сказочных, ж) бродячих собак, з) заключенных в настоящую классификацию, и) буйствующих, как в безумии, к) неисчислимых, л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжьей шерсти, м) и прочих, н) только что разбивших кувшин, о) издалека кажущихся мухами».

Итак, правильное деление – это такое деление, которое по одному и тому же основанию разбивает объем исходного понятия aВ(a) на непересекающиеся объемы видовых понятий aА_i(a), причем делает это так, что в сумме они исчерпывают весь объем родового понятия: вне возникшей видовой системы не должно оказаться ни одного элемента из объема aВ(a).

Операцию деления иногда путают с операцией членения предмета на части. Такая операция еще называется мереологическим делением (мереология – наука о соотношениях части и целого). В этом случае вместо перечисления видовых понятий перечисляются понятия о частях предмета. Пример:

«Скелет человека делится на скелет туловища, скелет головы и скелеты конечностей».

Ошибка обнаруживается следующим образом. Для каждого видового понятия aА(a) должно быть истинным высказывание «Всякий А есть В», в то время как ни для одного понятия о частях предмета такое высказывание истинным не будет.

Чтобы подчеркнуть отличие от мереологического деления, обычное деление называют иногда таксономическим, поскольку в результате оно дает соподчиненные группы объектов – таксоны.

Упражнение 9. Определите, какие ошибки допущены в следующих делениях:

а) «Государства делятся на республиканские, монархические и демократические».

б) «Семьи делятся на бездетные и многодетные».

в) «Студенты делятся на тех, кто изучает английский язык, и тех, кто изучает немецкий язык».

г) «Год делится на весну, лето, осень и зиму».

д) «Женщины бывают двух видов: ужас какие умные и прелесть какие глупенькие».

е) «Людей можно делить по-разному! Это известно всем.» – И сказал удивленный палач: «А я-то всю жизнь делю их только на головы и туловища!» (С.Е. Лец).

§9. Классификация

Классификация – результат последовательного деления некоторого понятия на его виды, видов на подвиды и т.д. Классификации крайне важны в научных исследованиях, когда требуется привести полученные знания в единую стройную систему. Для построения классификации могут быть использованы оба вида деления. Причем каждый этап классификации может осуществляться по собственному основанию, отличному от оснований, использованных на других этапах деления.

Всякая классификация может быть представлена в виде дерева понятий. Дерево понятий – это множество точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). Каждая вершина представляет собой некоторое понятие – таксон. Ребра показывают, на какие подвиды разбиваются таксоны. Вершина К₀ называется корнем дерева. Она представляет исходное делимое понятие. Таксоны группируются по ярусам. В каждом ярусе собраны таксоны, полученные в результате одинакового числа применений операции деления к исходному понятию. Те таксоны, которые далее уже не делятся в данной классификации на подвиды, называются концевыми таксонами.

Предельной классификацией называется такая классификация, все концевые таксоны которой представляют собой единичные понятия. Однако в зависимости от того, для чего предназначена классификация, она может и не быть предельной.

В зависимости от характера оснований, выбранных для создания классификации, классификации подразделяются на два вида: искусственные и естественные.

Искусственной считается классификация, в которой в качестве оснований деления используются второстепенные, несущественные характеристики предметов.

Естественной считается классификация, в которой в качестве оснований деления используются существенные характеристики предметов.

Существенными, как правило, называются те характеристики предмета, которые используются для теоретически научного описания этого предмета. Такие характеристики являются наиболее фундаментальными по сравнению с другими характеристиками этого предмета, составляют его «сущность». Знание таких характеристик позволяет получить разнообразную дополнительную информацию о предмете, являющемся носителем этих характеристик.

Основная особенность естественных классификаций заключается в том, что, зная местоположение предмета в такой классификации, можно сразу же сказать о многих других важных его свойствах (как, например, периодическая таблица Д.И. Менделеева).

Искусственные классификации тоже бывают очень важны. Они ничего не говорят о других свойствах предмета, однако часто облегчают его поиск (как, например, алфавитный каталог книг в любой библиотеке).

Так как в основе всякой классификации лежит деление, то классификация считается правильной, если на каждом ее этапе деление было выполнено правильно. При этом необязательно, чтобы в пределах одного яруса все деления производились по одному и тому же основанию. Главное, чтобы требование единства основания не нарушалось в рамках каждого отдельно взятого деления.

Упражнение 10. Постройте одну естественную и одну искусственную классификацию для следующих видов спорта. Каждая классификация должна состоять не менее чем из трех ярусов.

(1) футбол, (2) хоккей, (3) теннис, (4) бобслей, (5) бейсбол, (6) водное поло, (7) борьба, (8) волейбол, (9) лыжи, (10) плавание, (11) биатлон, (12) бокс, (13) баскетбол, (14) шахматы.