Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.
1. Матрица. Основные понятия.
Матрицей размера 
называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов. Числа, составляющие
матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными)
буквами латинского алфавита, например, A, B,
C,…, X, Y, Z, а для обозначения
элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: 
, где
– номер строки;
– номер столбца.
Например, матрица размеров имеет вид:
или в сокращенной записи
Например, матрица размеров 
имеет вид:
.
Наряду с круглыми скобками для обозначения
матриц используются
и другие: 
Две матрицы А и В
одинаковой размерности называются
равными, если 
при всех 
Виды матриц
Матрица, состоящая
из одного столбца, называется матрицей (вектором)-столбцом и обозначается 
, а состоящая из одной строки – матрицей (вектором)-строкой,
соответственно обозначается 
.
Матрица называется
квадратной n-го порядка, если число
ее строк равно числу столбцов и равно n:
.
Элементы 
образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы 
– побочную диагональ.
Например,
– квадратная матрица третьего порядка,
элементами главной диагонали являются числа 1, 5, 9, а побочной – 7, 5 ,3.
Если все элементы, кроме элементов,
образующих главную диагональ квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица
называется диагональной.
–
диагональная матрица третьего порядка. Например,
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы
равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается буквой Е.
–
единичная матрица третьего порядка. Например,
Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.
Нулевая матрица имеет следующий вид:
.
В линейной алгебре матрицы Е и О играют
такую же роль, какую играют числа 1 и 0 в арифметике.
Матрица, полученная
из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером,
называется матрицей транспонированной к данной и обозначается 
.
Пример 1. Так, если 
, то 
.
Транспонированная матрица обладает следующим
свойством: 
.
2. Действия над матрицами
1. Умножение матрицы на
число
Пусть
– произвольная
матрица, 
– произвольное действительное
число.
Произведением
матрицы А на число называется новая
матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента
матрицы А на число , т.е.
.
Например,
Таким образом, можно выделить следующее
следствие:
Общий множитель всех элементов матрицы можно
выносить за знак матрицы.
2. Сложение и вычитание
матриц
Эта операция
определяется только для матриц одинаковой размерности (формата).
Суммой двух матриц А
и В одинаковой размерности называется новая матрица С того же размера, каждый
элемент которой равен сумме соответствующих (стоящих на одинаковых местах)
элементов данных матриц.
Например, пусть А и
В – матрицы размерности 
. Тогда по определению под суммой 
понимается
или
.
Вышеприведенные действия над матрицами
называются линейными.
Линейные операции над матрицами обладают
следующими свойствами:
1. Переместительность
(коммутативность) умножения матрицы на число 
.
2.
Сочетательность (ассоциативность) со скалярным множителем 
.
3.
Переместительность (коммутативность) сложения матриц 
.
4.
Сочетательность (ассоциативность) сложения матриц 
.
5.
Распределительность (дистрибутивность) сложения матриц относительно
умножения на число 
.
6.
Распределительность (дистрибутивность) относительно сложения
чисел 
.
Таким образом, линейные операции над
матрицами можно выполнять по аналогии с привычными правилами алгебры чисел.
Вычитание для матриц
(как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению. Разностью
матриц А и В (А – В) одинаковой размерности называется такая матрица С, что
В+С=А.
Легко заметить, что
матрица С, удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только
одна. Ее элементы определяются равенствами
.
Таким образом, при вычитании матриц
вычитаются соответствующие элементы этих матриц.
Например, 
.
Замечание. Знаки сравнения (
) для матриц любого формата лишены смысла.
3. Умножение матриц
Умножение матрицы А
на матрицу В (рассматриваются именно в таком порядке) определено, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В этом случае матрица
А называется согласованной с матрицей В.
Иначе
говоря, если порядок матрицы А равен 
, то
порядок согласованной с ней матрицы В должен быть 
, где 
– любые натуральные
числа.
Произведением
матрицы 
на
матрицу 
называется такая матрица 
, что
, где 
Таким
образом, для вычисления элемента 
, стоящего в 
строке и в 
столбце матрицы С,
следует каждый элемент строки матрицы А умножить на соответственный элемент 
столбца матрицы В и
результат сложить.
Примеры:
1) 
.
2) 
.
Умножение матриц обладает следующими
свойствами:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Заметим, что
умножение матриц некоммутативно: 
.
Выше было
определено, что операция умножения имеет место только для согласованных матриц
А и В, при этом матрицы, взятые в ином порядке (В и А), могут оказаться
несогласованными, тогда их произведение не определено. Но даже в том случае,
когда согласованность матриц не нарушается, произведения АВ и ВА могут
оказаться разными.
Например, для матриц
и 
имеем:
, но
.
Если АВ=ВА, то
матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Очевидно, это может
иметь место только в том случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того
же порядка.
Например, коммутирующими являются матрицы
и 
.
Действительно,
,
то есть для данных матриц АВ=ВА.
Еще одно замечание:
произведение двух матриц может быть нуль-матрицей, даже если ни один из
сомножителей не является нуль-матрицей.
Например, пусть даны матрицы 
и 
. Найдем произведение АВ и ВА:
;
.
Отсюда следует, что
умножение матриц обладает рядом свойств, не характерных для умножения
действительных чисел, поэтому при действиях с матрицами необходимо проявлять
осмотрительность и аккуратность.
В заключение, отметим свойства, присущие
операции транспонирования:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
4.
Возведение в степень
На основе
определения произведения матриц умножать матрицу А на себя можно только в том
случае, если это квадратная матрица.
Пусть k – целое неотрицательное число, тогда k – й степенью квадратной матрицы А называется матрица,
которая вычисляется следующим образом:
Пример. Найти куб матрицы 
.
;
.