Раздел II. Начисление сложных процентов

 

2.1 Сложные проценты

 

         Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

 

Формула наращения по сложным процентам

 

         Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

         S=P(1+i)n,                                                          (19)

где S- наращенная сумма,i  - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+i)n - множитель наращения.

         В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).

         Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.

 

Формула наращения по сложным процентам,
когда ставка меняется во времени

 

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

                              (20)

где    i1, i2,..., ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.

 

         Пример 6.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

 

         (1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704

 

Формула удвоения суммы

 

         В целях оценки своих перспектив кредитор или должник  может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет вN раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем.  Ответ получим, приравняв множитель наращения величинеN:

         а) для простых процентов

        

(1+niпрост.) = N, откуда

.                                                            (21)

        

         б) для сложных процентов

 

(1+iсложн.)n=N, откуда

 

.                                                    (22)

 

Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

 

         а) для простых процентов

,                                                            (23)

 

         б) для сложных процентов

 

.                                                    (24)

Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 0,7, а ln(1+i) i.  Тогда

 

n» 0,7/i.                                                              (25)

 

         Пример 7.

Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.

 

         Решение.

а) При простых процентах:

          лет.

б) При сложных процентах и точной формуле:

 

          года.

 

в) При сложных процентах и приближенной формуле:

 

         n» 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет.

 

Выводы:

1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

 

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

 

         При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

 

         S=P(1+i)n,                                                          (26)

 

 

2)     На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

         S=P(1+i)a(1+bi),                                                (27)

где  n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года.

3)     В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

 

         S=P(1+i)a.                                                          (28)

 

Номинальная и эффективная ставки процентов

 

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка jназывается номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

 

S=P(1+j/m)N,                                                               (29)

 

где N - число периодов начисления.

         Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1)     По формуле сложных процентов

                   S=P(1+j/m)N/t,                                                    (30)

где N/t - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, t - период начисления процентов,

 

2)     По смешанной формуле

                   ,                                            (31)

где    a - целое число периодов начисления (т.е. a=[N/t] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t),

b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/t-a).

 

         Пример 8.

Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

 

 

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется  кварталов.

1) = 73,713 млн. руб.

2)  = 73,875 млн. руб.

 3) S=20(1+0,6/4)9= 70,358 млн. руб.

 

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

 

         Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и  m -разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то,  по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

 (1+iэ)n=(1+j/m)mn,                                                      (32)

где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

                                                          (33)

 

Обратная зависимость имеет вид

 

j=m[(1+iэ)1/m-1].                                                 (34)

 

         Пример 9.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

 

         Решение

iэ=(1+0,1/4)4-1=0,1038,    т.е. 10,38%.

 

         Пример 10.

Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

 

 

         Решение.

         j=4[(1+0,12)1/4-1]=0,11495,      т.е. 11,495%.

 

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

 

         Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

         Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=P(1+i)n

и решим ее относительно P

,                                               (35)

где

                                        (36)

учетный или дисконтный множитель.

         Если проценты начисляются mраз в году, то получим

         ,                                        (37)

где

                                       (38)

дисконтный множитель.

         Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме  Sчерез n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент.

         Разность D=S-P называют дисконтом.

         Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

         P=S(1-dсл)n,                                                                  (39)

где    dсл - сложная годовая учетная ставка.

 

         Дисконт в этом случае равен

 

         D=S-P=S-S(1-dсл)n=S[1-(1-dсл)n].                                (40)

 

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

 

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

 

Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетнойm раз в году описывается формулой

 

         P=S(1-f/m)N,                                                                (41)

где N - общее число периодов дисконтирования (N=mn).

         Дисконтирование не один, а  m  раз в году быстрее снижает величину дисконта.

 

         Эффективная учетная ставка. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m.

 

         В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей

 

(1-f/m)mn=(1-dсл)n,

 

из которого следует, что

         dсл=1-(1-f/m)m.                                                             (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

 

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S. Получаем

из     P=S(1-dсл)n

         ,                                                     (43)

 

а из   P=S(1-f/m)N

         .                                                 (44)

 


         Пример 11.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

 

         Решение.

          млн. руб.

         Пример 12.

Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

 

         Решение.

          млн. руб.

 

2.2 Непрерывные проценты

 

Наращение и дисконтирование

 

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

 

S=P(1+j/m)mn,

 

где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.

         Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m®¥ имеем

 

         S= lim P(1+j/m)mn=P lim [(1+j/m)m]n.                                  (45)

              m®¥                               m®¥

Известно, что  

lim (1+j/m)m=lim [(1+j/m)m/j]j=ej,

         m®¥                      m®¥    

где e - основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставкеj равна

S=Pejn.                                                                         (46)

 

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d. Тогда

S=Pedn.                                                                         (47)

 

Сила ростаd представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se-dn.                                                                                 (48)

 

Связь дискретных и непрерывных  процентных ставок

 

         Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

                   (1+i)n=edn.                                                          (49)

 

         Из записанного равенства следует, что

 

                            d=ln(1+i),                                                 (50)

                            i=ed-1.                                                       (51)

 

         Пример 13.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,

         Решение.

Воспользуемся формулой (50)

d=ln(1+i)=ln(1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

 

Расчет срока ссуды и процентных ставок

 

         В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить  либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

 

         При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

         А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения

                           

                            S=P(1+i)n

следует, что

                                                                (52)

 

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

         Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

                            S=P(1+j/m)mn

 

получаем

                                                         (53)

 

         В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы

                            P=S(1-d)n

 

имеем                                                      (54)

         Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке mраз в году. Из

                            P=S(1-f/m)mn

 

приходим к формуле

                                                         (55)

 

При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

 

                            S=Pedn

получаем

                            ln(S/P)=dn.                                               (56)

 

Расчет процентных ставок

 

Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.

         А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения

                           

                            S=P(1+i)n

следует, что

                                                                           (57)

         Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

                            S=P(1+j/m)mn

 

получаем                                                   (58)

         В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы

                            P=S(1-d)n

 

имеем                                                                (59)

         Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке mраз в году. Из

 

                            P=S(1-f/m)mn

 

приходим к формуле

                                                                  (60)

 

         Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

 

                            S=Pedn

получаем

                                                                   (61)

 

 

 

 

Начисление процентов и инфляция

 

Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом Jn. Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен Jp, т.е.

 

Jn=1/Jp.                                                                        (62)

 

Индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.

 

Наращение по простым процентам

 

         Если наращенная за n лет сумма денег составляетS, а индекс цен равен Jp, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

                            C=S/Jp.                                                      (63)

         Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост цен за год) равен h. Тогда годовой индекс цен составит (1+h).

         Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

 

                                                                           (64)

где в общем случае

                                                                        (65)

и, в частности, при неизменном темпе роста цен h,

 

                            Jp=(1+h)n.                                                 (66)

         Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

                                                                                (67)

         Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

                                                                           (68)

откуда

                                                                      (69)

 

Наращение по сложным процентам

 

Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

                                                                          (70)

где индекс цен определяется выражением (65) или (66), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.

В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i=h, обеспечивающей равенство C=P.

         Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.

А) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r. Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения

                                                                     (71)

где i - реальная ставка.

         Отсюда получаем формулу Фишера

 

                            r=i+h+ih.                                                 (72)

То есть инфляционная премия равна h+ih.

 

         Б) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда

 

                            S=PJp(1+i)n.                                              (73)

 

         Нетрудно заметить, что и в случае А) и в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (73). В ней  первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.

Измерение реальной ставки процента

 

         На практике приходится решать и обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно  вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r.

         При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна

                                                                       (74)

         При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением

                                                                   (75)

 

Практические приложения теории

 

         Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.

 

Конвертация валюты и начисление процентов

 

         Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов:

1.     Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение  первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов.

2.     С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в  исходную валюту.

3.     Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.

4.     С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.

         Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию.

 

Предварительно введем следующие ОБОЗНАЧЕНИЯ:

Pv - сумма депозита в валюте,

Pr - сумма депозита в рублях,

Sv - наращенная сумма в валюте,

Sr - наращенная сумма в рублях,

K0  - курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.)

 

K1 - курс обмена в конце операции,

n - срок депозита,

i - ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),

j -  ставка наращения для конкретной валюты.

 

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА® РУБЛИ ® РУБЛИ ®ВАЛЮТА

 

Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит

.

Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.

 

Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен

 

 ,

где k=K1/K0 - темп роста обменного курса за срок операции.

 

Мы видим, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции K1 (или с темпом роста обменного курса k).

         Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена k.

         Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна

 .

Подставим в эту формулу записанное ранее выражение дляSv

.

Таким образом с увеличением k доходность iэфф падает по гиперболе с асимптотой -1/n. См. рис. 2.

Рис. 2.

 

Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k=1  доходность операции равна рублевой ставке, т.е. iэфф=i. При k>1 iэфф<i, а при k<1  iэфф>i. На рис. 1 видно, при некотором критическом значении k, которое мы обозначим как k*,  доходность (эффективность) операции оказывается равной нулю. Из равенства iэфф=0 находим, что k*=1+ni, что в свою очередь означает K*1=K0(1+ni).

ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (iэфф<0).

 

         Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K1, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойной конвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций

         .

 

 

Из записанного равенства следует, что

 

или

.

ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше maxK1.

ВАРИАНТ:РУБЛИ ® ВАЛЮТА ® ВАЛЮТА ® РУБЛИ

 

         Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы

.

 

Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От  конечного курса обмена он также зависит линейно.

         Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки.

 

Доходность операции в целом определяется по формуле

 

         .

Отсюда, подставив выражение для Sr, получаем

         .

 

Зависимость показателя эффективностиiэфф от k линейная,  она представлена на рис. 3

 

 

Рис. 3.

 

При k=1  iэфф=j, при k>1   iэфф>j, при k<1 iэфф<j.

Найдем теперь критическое значение k*, при которомiэфф=0. Оно оказывается равным

            или              .

ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины k или K1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (iэфф<0).

Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенстваiэфф=i)

,

откуда        min     или    min.

ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше minK1.

         Теперь рассмотрим совмещение конвертации  валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА

         Три этапа операции записываются в одной формуле для наращенной суммы

,

где i - ставка сложных процентов.

 

         Множитель наращения

,

где     - темп роста валютного курса за период операции.

Определим доходность операции в целом в виде годовой ставки сложных процентов iэ.

Из формулы наращения по сложным процентам

S=P(1+i)n

следует, что

.

 

Подставив в эту формулу значение Sv, получим

.

Из этого выражения видно, что с увеличением темпа роста k эффективность iэ падает. Это показано на графике рис. 4.

 

 

Рис. 4.

 

Анализ показывает, что при k=1  iэ=i, при k>1 iэ<i, а при k<1 iэ>i.

Критическое значение k, при котором эффективность операции равна нулю, т.е. iэ=0,

определяется как k*=(1+i)n, что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке:  .

 

ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины k или K1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией явно убыточна (iэ<0).

Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке j (т.a  на рис. 4), находится из равенства соответствующих множителей наращения

,

откуда

         или            max.

ВЫВОД 6: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше maxK1.

 

 

Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции

 

      Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике.

 

 

Рис. 5.

 

      Пусть ссуда в размере D0 выдана на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R1 и R2, а в конце срока выплачивается остаток задолженности R3, подводящий баланс операции.

      На интервале времени t1 задолженность возрастает до величины D1. В момент t1 долг уменьшается до величины K1=D1-R1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R3. В этот момент задолженность полностью погашается.

      Назовем график типа б) контуром финансовой операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами.

С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года. Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года.

Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов.

 

Актуарный метод

 

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Для случая, показанного на рис. 5 б), получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:

K1=D0(1+t1i)-R1;K2=K1(1+t2i)-R2K2(1+t3i)-R3=0,

где периоды времени t1, t2, t3 - заданы в годах, а процентная ставка i - годовая.

 

 

 


Правило торговца

 

         Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.

1) Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.

2) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты,  делаются для годового периодазадолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

При общем сроке ссуды T£1 алгоритм можно записать следующим образом

,

где    S - остаток долга на конец срока,

         D - наращенная сумма долга,

         K  - наращенная сумма платежей,

         Rj- сумма частичного платежа,

         tj - интервал времени от момента платежа до конца срока,

         m - число частичных (промежуточных) платежей.

 

Переменная сумма счета и расчет процентов

 

         Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегатель­ный счет, и сумма счета в течение срока хранения изменяется:  денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число Cjза прошедший период j, в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле

,

где tj - длительность j-го периода в днях. 

Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D:

,

где K - временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i - годовая ставка простых процентов (в %).

 

         При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.

         Пример 14.

Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P1=3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i=20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R1=2000 руб. и был сделан 15 августа.  Снятие со счета в размере R2=-4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.

         Решение.

Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 февраля по 15 августа (P1=3000, t1=10+5*30+15=175), с 15 августа по 1 октября (P2=P1+R1=3000+2000=5000 руб., t2=15+30+1=46), с 1 октября по 21 ноября (P3=P2+R2=5000-4000=1000 руб.,t3=29+21=50).

         Найдем процентные числа

,

,

.

Постоянный делитель

D=K/i=360/20=18.

Сумма процентов равна

Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна

P3+I=1000+447.22=1447руб. 22 коп.

         Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.

Cумму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом

Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.

Изменение условий контракта

 

В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных - сложные ставки.

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "Раздел I. Начисление простых процентов"

Вперед к разделу "ЧАСТЬ II. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ"