Существуют также и другие классификации моделей по различным критериям. Приведем несколько наиболее употребительных.
В зависимости от назначения модели делятся на статические и динамические.
Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра.
Статические модели демонстрируют структуру объекта, дают его "снимок" (слепок, срез) системы в каждый момент времени. С точки зрения данного определения они отвечают на вопросы типа “Как устроено...”.
Примеры:
1) Модель атома
2) Модель ДНК
3) Модель вселенной
Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени. Динамические модели демонстрируют поведение объекта во времени. Они отвечают на вопросы типа “Что будет, если...”.
Примеры:
1) Прогноз погоды
2) Совокупность предприятий функционирует на рынке, обмениваясь товарами, сырьем, услугами, информацией. Если описать экономические законы, правила их взаимодействия на рынке с помощью математических соотношений, например, системы алгебраических уравнений, где неизвестными будут величины прибыли, получаемые от взаимодействия предприятий, а коэффициентами уравнения будут значения интенсивностей таких взаимодействий, то получим математическую модель экономической системы, т.е. экономико-математическую модель системы предприятий на рынке.
3) Закон Ньютона
F=ma
представляет собой статическую модель материальной точки массой m, движущейся с ускорением a. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.
4) Модель
есть динамическая модель пути при свободном падении тела.
В дискретной модель описывается поведение системы только в дискретные моменты времени.
Пример:
Если рассматривать только моменты времени
t=0с, 1с, 2с, … 10 с
то модель
или числовая последовательность
S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g
может служить примером дискретной модели движения свободно падающего тела.
В непрерывной модели описывается поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.
Пример:
Модель
непрерывна на промежутке времени (0;100).
Деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно, зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным (при этом непрерывные параметры представляются как дискретные величины путем введения разного рода шкал, балльных оценок и т. п.).
В детерминированной модели каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров;
Пример:
Модели небесной механики.
В стохастической (недетерминированной, вероятностной) модели условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. При этом реалистичнее, чем при детерминированном подходе, отражаются процессы, которые, как правило, имеют вероятностный (стохастический) характер.
Пример:
· Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели
учесть в виде случайного параметра движение ветра с силой p при падении тела, то получим стохастическую модель (уже не свободного!) падения.
· Стохастические процессы в теории массового обслуживания, в сетевом планировании и управлении и в других областях.
Модели, в основе которых лежат линейные зависимости, связывающие вход системы с выходом
или целевую функцию с выходными переменными
называются линейными.
Следует заметить, что линейные закономерности весьма часто встречаются в реальности, достаточно вспомнить второй закон Ньютона:
F=ma
или закон Ома:
U = IR.
В прикладных математических моделях, однако, линейные зависимости обычно вводятся для упрощения модели путем замены реально наблюдаемых нелинейных зависимостей (линеаризация). Надо сказать, что даже соотношение для второго закона Ньютона с поправкой Эйнштейна примет нелинейный вид:
где v — скорость движения тела; с — скорость света, и поэтому второй закон Ньютона является линеаризацией формулы Эйнштейна, достаточно точной при v << с.
К линейным прежде всего относятся методы и модели линейного программирования.
В нелинейных моделях либо учитываются действительные нелинейные связи между факторами или переменными, либо используются более реалистичные, нежели линейные, методы аппроксимации нелинейных зависимостей (квадратичные, логарифмические, показательные функции).
Модель, которая представляется системой каких- либо функциональных соотношений, носит название функциональной.
Пример
Непрерывный, детерминированный закон Ньютона и модель производства товаров (см. выше) - функциональные.
Теоретико-множественная модель представляется с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.
Пример:
Пусть заданы множество X={Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай - супруг Елены, Екатерина - супруга Петра, Татьяна - дочь Николая и Елены, Михаил - сын Петра и Екатерины, семьи Михаила и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.
Логическая модель представляется предикатами (логическими функциями).
Пример:
Совокупность двух логических функций вида: z=xyxy, p=xy может служить математической моделью одноразрядного сумматора.
Игровая модель описывает и реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями).
Пример:
Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i,jn), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1 и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов (в средне- и долгосрочном плане штраф за сокрытие может оказаться намного более ощутимым). Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей порядка n. Каждый элемент этой матрицы A определяется по правилу aij=|i-j|. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра – антагонистическая, бескоалиционная (формализуемые в математической теории игр понятия мы пока будем понимать содержательно, интуитивно).
Алгоритмическая модель реализуется в виде некоторого алгоритма или комплекса алгоритмов, описывающих ее поведение. Введение такого, на первый взгляд, непривычного типа моделей (действительно, кажется, что любая модель может быть представлена алгоритмом её исследования), на наш взгляд, вполне обосновано, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.
Пример:
Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Алгоритмической моделью корня квадратного из числа x может служить алгоритм вычисления его приближенного сколь угодно точного значения по известной рекуррентной формуле.
Структурная модель представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.
Графовая модель представима графом или графами и отношениями между ними.
Пример:
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями очень удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний и переходов.
Рисунок 0‑1 Граф состояний и переходов
Граф состояний и переходов графически изображает возможные состояния системы и ее возможные переходы из состояния в состояние Пусть имеется система S с n дискретными состояниями:
Каждое состояние изображается прямоугольником, а возможные переходы («перескоки») из состояния в состояние — стрелками, соединяющими эти прямоугольники.
Заметим, что стрелками отмечаются только непосредственные переходы из состояния в состояние; если система может перейти из состояния S1 в S5 только через S2, то стрелками отмечаются только переходы S1— S2 и S2— S5, но не Sl—S5.
Иерархическая (древовидная) модель представляется иерархической структурой (деревом).
Пример:
Для решения задачи нахождения маршрута в дереве поиска можно построить, например, древовидную модель:
Рисунок 0‑2 Древовидная модель
Иерархической моделью часто представляется также организационная структура предприятия.
Сетевая модель представляется некоторой сетевой структурой.
Пример:
Построение сетевой модели (структурное планирование) начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых определяется продолжительность. Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяженность во времени.
По количеству затрачиваемого времени работа может быть:
· действительной, т.е. требующей затрат времени;
· фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени.
Фиктивная работа может реально существовать, например, "передача документов от одного отдела к другому". Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.
Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других. Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.
Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.
Сетевая модель программы опроса общественного мнения, которая включает
· разработку (A; 1 день) и
· распечатку анкет (B; 0,5 дня),
· прием на работу (C; 2 дня) и
· обучение (D; 2 дня) персонала,
· выбор опрашиваемых лиц (E; 2 дня),
· рассылку им анкет (F; 1 день) и
· анализ полученных данных (G; 5 дней).
Взаимосвязь работ и событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика (сетевой модели). Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для указания конкретной работы используют код работы (i,j), состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий
Рисунок 0‑3 Представление работ и событий на сетевом графе
Из условия задачи нам известно содержание работ, но явно не указаны взаимосвязи между работами. Поэтому для их установления необходимо проанализировать смысл каждой конкретной работы и выяснить, какие из остальных работ должны ей непосредственно предшествовать. Исходной работой, начинающей сетевой график, в данном случае является "прием на работу" (С), поскольку все остальные работы должны выполняться уже принятыми на работу сотрудниками.
Перед выполнением всех работ по опросу общественного мнения сотрудников необходимо обучить персонал (D). Перед тем как разослать анкеты (F), их надо разработать (A), распечатать (B) и выбрать опрашиваемых лиц (E), причем работу с анкетами и выбор лиц можно выполнять одновременно. Завершающей работой проекта является анализ полученных данных (G), который нельзя выполнить без предварительной рассылки анкет (F). В результате этих рассуждений построим сетевую модель и пронумеруем события модели.
Рисунок 0‑4 Сетевая модель
В языковой (лингвистической) модели оригинал представляется некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т.п.
Пример:
Правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах. Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P – прилагательных, "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных. Языковая модель M словообразования: <zi><=<pi>:=<bi>+<si>. При bi - "рыб(а)", si - "н(ый)", получаем по этой модели pi - "рыбный", zi - "приготовленный из рыбы".
В визуальной модели визуализируются отношения и связи моделируемых систем (в частности, динамических).
Пример:
На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например, клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре.
В геометрической (графической) модели оригинал представляется геометрическими образами и объектами.
Пример:
Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно она используется при изображении окружности на экране компьютера. Прямая линия является моделью числовой оси, а плоскость часто изображается как параллелограмм.